对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u 即： Y*=0+1X1*+2X2*+u 比较： Y e 0 X1 1 X 2 2 u
不同数学函数的性质
模型 线性 双对数 左对数 右对数 倒数 对数倒数 数学方程 Y=β0+β1X lnY=β0+β1lnX lnY=β0+β1X Y=β0+β1lnX Y=β0+β1(1/X) lnY=β0+β1(1/X) 斜率(dY/dX) β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 弹性(dY/dX)(X/Y) β1X/Y β1 β1X β1/Y -β1/(XY) -β1/X
假定6：误差服从正态分布

假定误差服从以零为均值和具有不变方差 的正态分布。
e X ~ N[0, 2 I ]

对于应用工作而言，正态分布假定并不是 必须的，只是为分析计算提供了便利。这 涉及到假定3和4。
最小二乘法估计
ˆ u Y X e X

式中：

是理论模型的未知参数向量 ˆ 是的估计量




ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 2i ˆ 2


最小二乘法估计
（多元回归模型）

由三个方程可以解出：
ˆ ˆ ˆ Y N X i 0 1 1i 2 X 2i
2 ˆ ˆ ˆ X Y X X 1i i 0 1i 1 1i 2 X 1i X 2 i 2 ˆ ˆ ˆ X Y X X X X 2i i 0 2i 1 1i 2i 2 2i
假定3：解释变量X独立于误差项

根据这一假定1 X 1 ] E[e2 X 2 ] E[e X ] 0 E[en X ] n
假定3：解释变量X独立于误差项

条件均值为零意味着，无条件均值也等于 零。
E[ei ] Ex E[ei X i ] 0

假定3还意味着
Cov[ x, e] Cov[ x, E[e X ]] 0
E[Y X ] X
假定4：球形扰动
(Spherical Disturbances)

Var[ei X ] 2 E[ee ' X ] 2 I E[e1e1 X ] E[e1e2 E[e2 e1 X ] E[e2e2 ... E[en e1 X ] E[en e2
e是理论模型的随机挠动项 u是估计模型的残差项
2 i

用方程形式，残差平方和可以表示为
ˆ ESS u Yi Y i

Y ˆ ˆ X
2 i 0 j ij
2
最小二乘法估计
（多元回归模型）

以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数 得到： ESS ˆ ˆ X ˆ X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i ˆ 0 ESS ˆ ˆ X ˆ X X 0 2 Yi 0 1 1i 2 2i 1i ˆ 1
第二章 线性回归模型
(Linear regression equations)
本章内容

古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood） 广义矩法（Generalized Method of Moments）
当挠动项同时满足方差相同和无序列相关两个假定时，我们将其称做 球形扰动。
利用方差分解公式可以得到：
假定5：解释变量是非随机的
(Nonstochastic regressors)

古典模型要求X是一个n K 非随机矩阵，即不含 有随机误差； 在应用工作中可以放松这一假定，只要求当X为 随机变量时，其统计分布独立于误差项e，即X与 误差项不相关。
二次函数
交叉项
Y=β0+β1X+β2X2
Y=β0+β1X+β2XZ
β1+2β2X
β1+β2Z
(β1+2β2X)X/Y
(β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的




X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K； 该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到 满足时，我们才能够得到参数估计结果。 该假定要求，至少对于K个观察值而言，解释变 量之间不应存在完全的线性关系。当不满足这一 条件时，我们遇到奇异矩阵。 一元回归模型不存在违反该假定的情况。 在遇到此问题时，计量经济软件通常给出“Near Singular matrix”。
假定4与挠动项的方差和协方差有关，即：
和
Cov[ei , e j X ] 0, i j
X ] ... E[e1en X ] X ] ... E[e2en X ] X ] ... E[en en X ]

Var[e] E[Var[e X ]] Var[E[e X ]] 2 I
模型设定与设定误差 虚拟变量的使用 建立多元回归模型时应注意的问题

古典回归模型
当回归模型满足古典假定时，我们称
其为古典回归模型。 一元回归模型
Yi = β0 + β1Xi +ei
多元回归模型
Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + . . .+ βKXKi +ei
假定1：参数线性函数

古典多元回归模型的可以表示为：
一般形式：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + . . .+ βKXK +e 离差形式：y = β1x1 + β2x2 + . . .+ βKxK +e 矩阵形式：Y = Xβ +e



在矩阵形式中，Xi是矩阵X 中的一列，常数项被看作是一个取值恒为 0的变量。 需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达 为样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的 关系为线性的。 u 例：CD函数 Y e 0 X1 1 X 2 2 e