O 1 31
相位频谱图 n
~ n
n
1
O 1 31
13
傅立叶级数的意义：周期信号经过傅立叶级
数展开，将时域信号f(t)转换到了频域表示
t→ω 。
时域周期信号f(t)
FS
函数表示：c0 cn cosn1t n n1
波形表示：频谱图（幅度谱、相位谱）
14
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集
n1
又
jn1t
F (n )e
F (n )e jn1t
1
1
n 1
n1
令F (0) a
16
0
结果：
f (t) F (n1)e jn1t Fne jn1t
n
n
其中：Fn
an
2
jbn
1
Fn T1
t 0T1 t0
f
(t)(cos n1t
j sin n1t)dt
1
Fn T1
t0T1 f (t)e jn1t dt
理解：
n1
f (t) c0 cn cosn1t n n1
1、信号分解为直流分量，及各正、余弦分量之和，各
分量的频率是信号频率ω1的整数倍。
频率为ω1 、2 ω1 、 n ω1分量：基波、二次谐波、n次 谐波
2、 c0：直流分量
cn： n次谐波分量的幅度大小
φn： n次谐波分量的相位大小
11
第九章
数字信号处理的实现
1
第三章 傅里叶变换
教学目的：
1、掌握傅里叶级数的定义及性质。
2、掌握傅里叶变换的定义及性质。
3、建立信号频谱的概念。
4、掌握频谱密度函数的概念及其意义。
5、掌握抽样定理及抽样信号频谱的特征
教学重点：
1、傅里叶变换及其性质。
2、抽样定理。
2
§3.1 引言
时域分析
频域分析
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示 了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频 率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、 带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
f (t) a
a (n
jb en jn1t
a n
jb e ) n jn1t
0 n1
2
2
令
(a jb ) F (n ) n n (n 1,2, )
1
2
又 a 是n的偶函数，b 是n的奇函数
n
n
所以
F (n
)
a n
jb n
1
2
f
(t)
a 0
[
F
(
n 1
)e
jn1t
F (n )e jn1t )] 1
2
an T1
t0 T1 f (t) cos
t0
n1t
dt
正弦分量的幅度
bn
2 T1
t0 T1 f (t) sin
t0
n1t
dt
7
3、狄利克雷（Dirichlet）条件
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。
2
2
an T1
T1
2 T1
2
A T1
t
cos
n1t
dt 0
2
bn T1
T1
2 T1
2
A T1
t
sin
n 1t
dt
A (1)n1 nπ
n 1,2,3
傅里叶级数展开式为
f
t
0
A π
sin1t
A 2π
sin
21t
9
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
构成完备的正交函数集
6
2．傅里叶级数形式
周期信号 f t ,周期为T1 , 基波角频率为1
在满足狄氏条件时，可展成
2
T1
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数。其系数
直流分量
a0
1 T1
t0 T1 f (t) d t
t0
余弦分量的幅度
条件3:在一周期内，信号绝对可积。
t0 T1 f (t ) d t t0
一般的周期信号都满足狄氏条件.
8
例3-2-1
f (t) A t T1 t T1
T1 2
2
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
f t
1
a0 T1
T1
2 T1
2
A T1
t
d
t
0
A/2 T1
2
T1
t
t0
17
f (t)
Fn e jn1t
(1)
n
1
Fn T
t0T1 f (t) e jn1t d t
t0
(2)
理解：
•周期信号可分解为 ,区间上的
指数信号 e jn1t的线性组合。
4
§3.2 周期信号傅里叶级数
主要内容：
Fourier Series
•三角函数形式的傅氏级数
（FS)
• 指数函数形式的傅氏级数
• 频谱图
• 两种傅氏级数的关系
• 函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率
•傅里叶有限级数与最小方均误差
5
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
cosn1t,sinn1t n=0,1,...
3
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传 导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
4、幅度频谱图和相位频谱图
f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
幅度频谱（图）：把cn对nω1的关系绘成图形
相位频谱（图）：把φn对nω1的关系绘成图形
c ~ n ~ n
n
1
n
1
12
5、 频谱图
cn
幅度频谱图
c1
c ~ n c0
n
1
c3
谱线，包络
频谱特点： 离散性 谐波性 收敛性 单边谱
ejn1t n 0,1,2
2．指数形式的傅里叶级数(推导）
f
(t)
a 0
Hale Waihona Puke a ncosn t 1
b n
sinn t 1
n1
cos(n t) 1 (e jn1t e ) jn1t
1
2
sin(n t)
1
(e e ) j (e e ) jn1t
jn1t
jn1t
jn1t
1 2j
2
15
1
n1
余弦形式 f (t) c0 cn cosn1t n
2
n1
c0 a0
an cn cosn
cn
a
2 n
bn2
bn cn sinn
n
arctan
bn an
正弦形式 f (t) d0 dn sin n1t n (3)
n1
10
周期信号傅立叶级数 f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t