模态参数识别及稳态图介绍
蔡辉 2012年3月4日
基本介绍
设由观察得到关于物理量x和y的一组 数据为：
������1, ������1 , ������2, ������2 ⋯ ������������, ������������ 人们希望通过这些数据，找出函数������ = ������ ������ , 使得它能最好的反映������和������它之间的依赖关 系，即找到拟合数据 ������������, ������������ (i=1,2,…,m)的最 佳拟合曲线。
包含固有频率和阻尼。
Curve-fitting：model of N degrees of freedom
然而以上是基于被测结构是三自由
度的假设提出的数学模型。实际结构
可认为有N自由度，其频响函数的数
学模型为（可理解为N次多项式数学
模型）：
Hij
j
N

k 1
aijk j Pk
求解的数学模型的阶次；水平轴表示极点频率。图中既能显示所有测点的FRF之和， 也能同时显示某一个FRF。因为某个测点可能处于某阶模态的节点上，则单个FRF可能 不会出现对于那阶模态的峰值，造成模态的遗漏。而所有FRF之和则能显示出所有模 态峰值，有利于全面的认识结构的模态。
观察所有蓝色竖线处，其所指示的极点随着模型阶次的增大趋于稳定，表示该极 点是结构的某一物理极点而非计算极点。“稳定”是指不同阶次数学模型所计算出的
出来，模态参数识别即告结束。
以上就是稳态图的含义和用法
如有疑惑随时可以向李老师解释！
j Pk*
其基本过程是：
从零阶的数学模型开始，不断地增加模型 的阶次，并用各阶的数学模型拟合实测的FRF 数据，即用实测的FRF数据确定各阶模型中的 未知参数：留数������������������������、���������∗���������������和极点������������、���������∗��� 。最 终由留数可计算出振型，由极点计算出固有频 率和阻尼。因此每一阶模型都会计算出各自的 极点和留数（固有频率、阻尼和振型）。
问题是：谁说测力计一定要用一阶线性 函数y=mx+b的数学模型来表达 ？这里 我们也可以用一个三次函数的数学模型 来更精确地描述测量得到的数据！
当然，当采用不同的多项式数学模型来 描述一组数据时，将求解得到不同的多 项式系数。
Curve-fitting：modal parameter estimation

a* ijk
j Pk*
同理剩下的工作，就是通过实测 得的频响函数数据确定上式中的未知 参数。但问题是，这里的N如何选择？ 即模型的定阶问题：以多少阶的数学 模型去拟合实测的FRF数据？
Curve-fitting： stabilization diagram
在结构动力学中，模型的阶数通常 被设得很高以减少估计偏差并捕捉结构 所有相关的特性（还记得第一页说的 “最佳拟合曲线”否？），即使存在大 量的测量噪声。
假如我们通过实验测得了某一结 构的频响函数如图，并假设被被测结 构是具有三自由度，于是根据振动理 论我们得到此结构的频响函数表达式 （可理解为三次多项式数学模型）为：
Hij
3j Leabharlann k 1aijk j Pk

a* ijk
j Pk*
接下来我们要做的就是通过实
验测得的数据确定上式中的未知参数： 留数������������������������ 、���������∗��������������� 和极点������������ 、���������∗��� ，即曲线 拟合。其中留数包含振型信息，极点
固有频率、阻尼和振型在一个限定的范围内变动。典型的稳定准则是：固有频率在1% 之内变化；阻尼5%；振型2%。图中，“o”表示从某阶数学模型开始出现极点；“v” 表示极点的频率和振型稳定；“d”表示频率和阻尼稳定；“s”表示所有都稳定。
如前所述，稳态图是用来通过观察极点的分布从而将结构的物理极点从计算极 点中区分开来。例如，图中各蓝色竖线上的极点才对应机构的某一阶模态。但对应这 阶模态，每个阶次的数学模型都会计算出一个极点（图中的每个“s”），并且各极 点的频率、阻尼和振型可能会波动（但波动范围满足稳定准则）。那么到底如何确定 某一阶模态的极点呢？即到底选取哪阶数学模型计算出的极点作为该阶模态的极点？
例：小明手中有一个弹簧测力计，上面 的刻度模糊不清，老师给小明7个的砝码， 每个重力为1N，让小明标定测力计的刻 度！小明将通过实验得到了加所砝码个 数y和弹簧伸长量x的数据，如下图：
用下面测力计校准数据进行说明！
小明发现这组数据近似成线性关系， 于是他假定其满足一次函数关系 y=kx+b，并利用这组数据得到了函数 中的斜率k和截距b。
针对上述问题，人们提出了不同准则，其中常用是选取极点开始稳定的较低阶次 的数学模型计算出的极点作为该模态的极点，如图中的蓝色“s”（注意图中第一条 蓝色线上有两个蓝色“s”表明在该频率附件有两个紧密耦合的模态，FRF在该处有两 个峰也说明了这一点）。确定每一阶模态的极点后，固有频率、阻尼和振型皆可计算
而大量的经验证明，结构的物理极点不会 随计算模型阶次的变化而变化（同一阶模态极 点会在同一个频率处出现），而计算极点则会 随计算模型阶次的变化在整个频带内弥散分布。
稳态图就是把各阶数学模型所计算出的极 点放在一张图上，通过观察极点的分布即可找 出结构的物理极点。
稳态图通常都是双边图，即有两个纵坐标轴，左边表示频响函数幅值，右边表示
然而其计算结果不仅会包含结构的 物理极点还会出现一些与结构无关的计 算极点（包括数据处理和噪声引入的极 点）。
为了将结构真实的物理极点与计算 极点区分开，就引入了stabilization diagram，即稳态图的概念。
Hij
j
N

k 1
aijk j Pk

a* ijk