高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{14}A x x，{lg(1)}B x y x ，则AB（）A ．{12}x xB ．{12}x xC ．{12}xx D ．{12}x x 2. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ”也是假命题，则( ) A ．命题“p 或q ”是假命题B ．命题“p 或q ”是假命题C ．命题“p 且q ”是真命题D ．命题“p 且q ”是真命题3. 已知数列n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a ，则11S 为(）A. 110B.55 C.50 D.不能确定4. 以抛物线28yx 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A. 22(1)1x yB.22(1)1x yC.22(2)4x y D. 22(2)4x y 5．“3a ”是“函数()3x f x ax 有零点”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知n m,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列命题：①若,//m ,则m ；②若m,n,且n m,则；③若m,//m ,则；④若//m ,//n ,且n m //,则//．其中正确命题的序号是（）A ．①④ B ．②④C ．②③D ．①③7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。
莞生一日，长一尺。
蒲生日自半。
莞生日自倍。
问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入3A，1a ．那么在①处应填（）A ．2?TS B ．2?S T C ．2?S T D ．2?T S 8.过函数3213f xxx 图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4B.3π[0,)[,π) 24 C. 3π[,π) 4D. 3(,]249．已知定义在R 上的函数f x 满足：1y f x 的图象关于1,0点对称，且当0x时恒有2f x f x ，当0,2x 时，1xf xe，则20162017f f( )(其中e 为自然对数的底)A. 1e B. 1e C. 1e D. 1e 10．已知Rt ABC ，点D 为斜边BC 的中点，63AB ，6AC ，12AEED ，则AE E B 等于（）A.14 B. 9 C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中，不等式组2220xy x y xyr（r 为常数）表示的平面区域的面积为，若,x y 满足上述约束条件，则13x y zx 的最小值为（）A ．1 B．5217C.13D ．7512. 设双曲线)0,0(12222ba by ax 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A,两点，若AB F 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e（）A.221B. 224C.225 D.223二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.14．已知为锐角，向量(cos ,sin )a 、(1,1)b满足223a b，则sin()4．15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．16．若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c ，则b c 的最小值是_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分10分）在数列n a 中，14a ，21(1)22nnna n a n n .（1）求证：数列n a n是等差数列；（2）求数列1na 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin sin 23sin sin 3a Ab Bc CC a B.622俯视图侧视图正视图（1）求角C ；（2）若ABC 的中线CD 的长为1，求ABC 的面积的最大值.19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时）3050X5070X70X光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式n i ini ini iiy y x x y y x x r12121)()())((，参考数据55.03.0，95.09.0．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中，////,222AB CD EF CD EF CF AB AD ,60DCF ,AD 平面CDEF . （1）证明:直线CE 平面ADF ；（2）已知P 为棱BC 上的点，23CP CB ，求二面角P DFA 的大小.x y （百斤）54386542（千克）O21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a bab的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ，使得QP TP PQ TQ ？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数ln a f xxx.（1）求函数f x 的单调区间；（2）证明：当2ae时，xf x e .高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13.5614．5315.32316.117.解：（1）21(1)22nnna n a nn 的两边同时除以(1)n n ，得*12()1nn a a nn nN ，…………3分所以数列n a n是首项为4，公差为2的等差数列.…………………4分（2）由（1），得22n a n n，…………………5分所以222na nn ，故2111(1)111()222(1)21nn n a nn n n nn ，………………7分所以111111[(1)()()]22231nS n n ，1111111[(1)()]223231nn 11(1)212(1)n n n . ……………10分18.解：(1)∵sin sin sin 23sin sin 3a A b Bc CCa B，2223cos sin 23a bcCCab…………4分,即tan 3C，又(0,)C3C .………………6分(2) 由222211()(2)44CDCA CB CACB CA CB 即2222111(2cos )()44baab C ba ab …………………8分从而22442,3ababab ab（当且仅当233ab时，等号成立），…………10分即11433sin 22323ABCSab C…………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x，3444545y ．………1分因为51()()(3)(1)00316i ii x x y y ，…………………2分，5231)1()3()(22222512i ix x …………………………3分52222221()(1)12.ii y y …………………………4分所以相关系数12211()()690.9510252()()nii i nniii i x x y y rx x y y ．………………5分因为0.75r ，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．……………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．…………8分当5070X时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．……………………………9分当50X时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元．…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………………………12分20．证明：（1）//,2,CD EF CD EF CF四边形CDEF 为菱形，CE DF ，………1分又∵AD 平面CDEF ∴CE AD ………2分又,ADDF D 直线CE 平面ADF .………4分(2) 60DCF，DEF 为正三角形，取EF 的中点G ，连接GD ，则,GD EF GD CD ，又AD平面CDEF ，∴,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz ，………5分2,1CD EF CF ABAD，0,1,3,0,1,3E F ，(1,1,0),(0,2,0)B C ………6分由（1）知0,3,3CE是平面ADF 的法向量，………7分0,1,3,1,1,0DF CB ，222(,,0)333CPCB，(0,2,0)DC 则24(,,0)33DP DC CP ，………8分设平面PDF 的法向量为,,n x y z ，∴00n DF n DP，即3024033yzxy，令3z ，则3,6yx ，∴(6,3,3)n ………10分∴121cos ,22343n CE n CE n CE………11分∴二面角PDFA 大小为60.………12分21. 解:（1）由题意知1c ，又tan 603bc，所以23b，………2分2224abc，所以椭圆的方程为：22143xy；………4分（2）当0k时，0t，不合题意设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k，代入22143x y ，得：2222(34)84120k x k x k ，故0，则,0k R k 设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则212002243,(1)23434x x kk x y k x kk，………7分由QP TP PQ TQ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ，所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，………8分直线TR 的方程为：222314()3434k k yxk k k，………10分令0y 得：T 点的横坐标22213344ktkk，………11分因为2(0,)k，所以234(4,)k，所以1(0,)4t . ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TPPQ TQ ，其中1(0,)4t .22.解：（1）函数ln af xx x 的定义域为0,.由ln a fxx x，得221a x afxxxx.………1分①当0a时，0f x 恒成立，f x 递增，∴函数()f x 的单调递增区间是0,………2分②当0a时，则0,xa 时，0,f xf x 递减，,x a 时，0fx，f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是,a .………4分（2）要证明当2a e时，xf x e ，即证明当20,x ae时，ln xa xe x，………5分即ln xx xaxe ，令ln h xx xa ，则ln 1h xx ，当10xe时，0h x；当1xe时，0h x.所以函数h x 在10,e上单调递减，在1,e上单调递增.当1x e时，min1h xa e.于是，当2ae时，11h xaee.①………8分令xx xe ，则1xxxx exee x . 当01x 时，0x；当1x时，0x.所以函数x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减.当1x时，max1xe.于是，当0x 时，1x e.②………11分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2ae时，(f x )xe .………12分。