数学建模算法与应用
第14章 综合评价与决策方法
张敬信
基础科学学院
• 数学模型按功能大致分三种： 评价、优化、预测
• （综合）评价模型的例子 1. 研究生院、城市发展力评估； 2. 医疗、环境、企业效益等评价； 3. 人事考核，供应商选取； 4.（14美赛B题）评选五佳大学教练； ……
综合评价是根据一个复杂系统同时受到多种因素 影响的特点，在综合考察多个有关因素时，通过处理 各个因素的指标数据计算综合指标，对复杂系统进行 总的评价。
i
（本/人） 比 （万元/年） （%）
1
0.1
5
5000
4.7
2
0.2
6
6000
5.6
3
0.4
7
7000
6.7
4
0.9
10
10000
2.3
5
1.2
2
400
1.8
人均专著 等4个属性 (n)
研究生院 1,2,3,4,5 (m)
设多属性决策方案集为 D {d1,d2 ,L ,dm }，衡量方
案优劣的指标（属性）变量为 x1,L , xn，这时方案集 D中
（6）按 fi*由大到小排列方案的优劣次序。
例 14.1 研究生院评估。 为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研 究生院的教学质量，选取 5 所研究生院，收集有关数 据资料进行了试评估，表 14.1 是所给出的部分数据。
表14.1 研究生院试评估的部分数据
j 人均专著 生师 科研经费 逾期毕业率
综合评价的要点
• 1. 有多个可测量或可量化的评价指标； • 2. 有一个或多个评价对象，这些对象可以
是人、单位、方案、标书科研成果等； • 3. 根据多指标信息计算一个综合指标，把
多维空间问题简化为一维空间问题中解决， 依据综合指标值大小对评价对象优劣程度 进行排序。
综合评价的一般步骤
根据评价目的， (1) 选择恰当的评价指标（代表性、区别性，
设由决策人给定各属性的权重向量为
w [w1, w2 ,L , wn ]T ， 则
cij w j bij，i 1,L , m， j 1,L , n （14.2）
（3）确定正理想解C*和负理想解C 0
设正理想解C
*
的第
j
个属性值为c
* j
，负理想解C
0
第
j
个属性值为
c
0 j
，则
正理想解
c*j
常用的属性规范化方法：
（1）线性变换
原决策矩阵为 A (aij )mn，变换后的决策矩阵记为
B
(bij
)mn
。设a
max j
是决策矩阵第
j
列中的最大值，a
min j
是决策矩阵第 j 列中的最小值。
① 若 x j为效益型属性，则
bij
aij
/
a
max j
.
（14.8）
变换后，最差属性值不一定为 0，最好属性值为 1。
系数法、灰色关联分析法 等。
• 客观赋权类（依据指标间相互关系、各指标值变异 程度）： 主成分分析法、因子分析法、理想解法、数据包 络分析法 等。
秩和比综合评价法
14.1 理想解法（TOPSIS法）
理想解法亦称为 TOPSIS 法，用来处理多属性决策问 题，是一种有效的多指标评价方法。
该方法通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各 指标的最优解和最劣解，通过计算每个方案到理想方案的相 对“距离”，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对 方案进行排序，从而选出最优方案。
n
si*
(cij c*j )2 ，i 1,L , m.
j1
（14.5）
备选方案di 到负理想解的距离为
n
si0
(cij
c
0 j
)2
，i
1,L
, m.
j1
（14.6）
（5）计算各方案的排队指标值（即综合评价指数）
fi* si0 / (si0 si* )，i 1, 2,L , m.
（14.7）
miax cij , miin cij ,
j为效益型属性, j为成本型属性,
j 1,L , n （14.3）
负理想解
c
0 j
miin cij , miax cij ,
j为效益型属性, j为成本型属性,
j 1,L , n （14.4）
（4）计算各方案到正理想解与负理想解的距离
备选方案di 到正理想解的距离为
的每个方案di（i 1,L ,m）的n个属性值构成的向量是
[ai1,L ,ain ]，它作为n维空间中的一个点，能唯一地表
征方案di 。所有di 排成一列就是决策矩阵：
第 i 行数据，n维向量
0.1 j
d1
)
mn
=
dMm
0.2 0.4 0.9
6 6000
② 若 x j为成本型属性，则
bij
1
aij
/
a max j
（14.9）
变换后，最好属性值不一定为 1，最差属性值为 0。
（2）标准 0－1 变换 为了使属性变换后的最好值为 1 且最差值为 0，
可以进行标准 0－1 变换。对效益型属性 x j，令
bij
aij
5.6
7 7000 6.7
10 10000 2.3
1.2 2 400 1.8
决策矩阵 （表中的数据）
第一步，数据预处理——又称属性值的规范化。 属性值一般分为：
效益型（值越大越好）； 成本型（值越小越好）； 区间型（值在某个区间最好）。
进行属性值规范化的作用： （1）不同指标的属性值不能直接从数值大小判断方 案的优劣，需要预处理数据使得属性数值的大小能反 映方案的优劣（越大越优）。 （2）非量纲化：不同的属性值具有不同的单位（量 纲），需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响。 （3）归一化：不同指标的属性值的数值大小差别很 大，进行评价决策前需要把属性值表中的数值归一化， 即把表中数值均变换到[0，1]区间上。
14.1.2 TOPSIS法的算法步骤
（1）数据预处理，得到规范化决策矩阵
设多属性决策问题的决策矩阵 A (aij )mn，规范化
决策矩阵 B (bij )mn，其中
bij aij
m
ai2j ，i 1,L , m， j 1,L , n （14.1）
i 1
（2）构成加权规范阵C (cij )mn
互相独立、可以测量）组成评价指标体系。 (2) 确定各评价指标在的相对重要性（权
重）； (3) 合理确定各单个指标的评价等级及其界
限； (4) 根据数据特征，选择适当的综合评价方
法，建立综合评价模型； (5) 应用模型、检验有效性、推广。
主要的综合评价方法
• 主观赋权类（人为给定）： 指数法、模糊综合评判法、层次分析法、 功效