二次函数小综合-二次函数与交点问题
例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2
－kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______．
解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2
－4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题：
M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________．
所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________．
4
1
l 1
l 2
N
M
C O
x
y
y ＝4x －6,y ＝x 2
－4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±211－6,k ＝
65,－6＋211＜k ≤65
. 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2
．
解：联立
可得：x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0，
令y ＝x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3，
∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4，
当m ＝8+4
时，x ＝
＝5+2
＞4
当m＝8﹣4时，x＝＝5﹣2，满足题意，
当△＞0，∴令x＝0，y＝5m﹣3，令x＝4，y＝m+5，
∴（m+5）（5m﹣3）＜0，∴﹣5＜m＜
令x＝0代入x2﹣（m+2）x+5m﹣3＝0，
解得：m＝，此该方程的另外一个根为：，故m＝也满足题意，
故m的取值范围为：﹣5＜m≤或m＝8﹣2
例3．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（1，﹣6），若抛物线y＝ax2+（a+2）x+2与线段AB有且仅有一个公共点，则a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．
解：当抛物线过A点，B点为临界，
代入A（﹣2，0）则4a﹣2（a+2）+2＝0，解得：a＝1，
代入B（1，﹣6），则a+（a+2）+2＝﹣6，解得：a＝﹣5，
又a≠0，当a＝﹣5时，抛物线与线段AB有两个交点，
所以a的取值范围是﹣5＜a≤1且a≠0．
∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
由，消去y得到：ax2+（a+4）x+6＝0，
当△＝0时，直线AB与抛物线只有一个交点，
∴（a+4）2﹣24a＝0，解得a＝8+4或8﹣4，
经检验：当a＝8+4时，切点在线段AB上，符合题意，当a＝8﹣4时，切点不在线段AB上，不符合题意，故答案为﹣5＜a≤1且a≠0或a＝8+4．
例4．已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6的图象与x轴负半轴至少有一个交点，则m的取值范围为（）
A．1＜m＜3B．1≤m＜2或2＜m＜3
C．m＜1D．m＞3
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6，
∴m﹣2≠0，∴m≠2，
当①图象与x轴的交点有两个，原点的两侧各有一个，
则，解得2＜m＜3；
②图象与x轴的交点都在x轴的负半轴，
则，解得：1≤m＜2．
综上可得m的取值范围是：1≤m＜2或2＜m＜3 故选：B．
例5．已知a、b为y关于x的二次函数y＝（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3的图象与x轴两个交点的横坐标，则|a﹣c|+|c﹣b|的值为
解：当y＝0时，（x﹣c）（x﹣c﹣1）﹣3＝0，（设a＜b），
整理得x2﹣（2c+1）x+c2+c﹣3＝0，
△＝（2c+1）2﹣4（c2+c﹣3）＝13，x＝，
所以a＝c+，b＝c+，
所以|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a＝c+﹣（c+）＝．
故答案为．
练习1已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y ＝x 2+（a ﹣3）x +3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ﹣1≤a ＜﹣或a ＝3﹣2 ．
解：依题意，应分为两种情况讨论， ①当二次函数顶点在x 轴下方， 若y x ＝1＜0且y x ＝2≥0，即
，解得此不等式组无解；
若y x ＝2＜0且y x ＝1≥0，即
，解得﹣1≤a ＜﹣；
②当二次函数的顶点在x 轴上时， △＝0，即（a ﹣3）2﹣12＝0，解得a ＝3±2，
而对称轴为x ＝﹣
，可知1≤﹣
≤2，故a ＝3﹣2．
故答案为：﹣1≤a ＜﹣或a ＝3﹣2
．
2．（2018预测）已知抛物线y ＝x 2
－2mx ＋9m －1，当－3≤x ≤3时，使y ＝m 成立的x 的值恰好只有一个，则m 的取值范围是_________________．
4
47
m -≤<-或415m =-
3．（2018新观察四调模拟卷）已知A （－1，6）、B （4，1）抛物线y ＝x 2
＋b 与线段AB 只有唯一公共点，则b 的取值范围是_________________． －15≤b ＜5或214b =
4.已知二次函数y ＝x 2+x +c （b ，c 为常数），且当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； ∵对称轴x ＝﹣
＝﹣，∴当﹣1＜x ＜1时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，
则①此公共点一定是顶点，∴△＝1﹣4c ＝0，即c ＝，
②一个交点的横坐标小于等于﹣1，另一交点的横坐标小于1而大于﹣1， ∴1﹣1+c ≤0，1+1+c ＞0，解得﹣2＜c ≤0． 综上所述，c 的取值范围是：c ＝或﹣2＜c ≤0；
5．已知a、b为抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣2与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c ﹣b|的值为b﹣a．
解：当x＝c时，y＝﹣2＜0，
由图可知，a＜c＜b，
则|a﹣c|+|c﹣b|＝c﹣a+b﹣c＝b﹣a．
故答案为b﹣a．
6．二次函数y＝x2﹣4mx+1﹣2m，当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．
解：∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，
∴可得以下几种情况：
①，解得m＝．
②，解得m＞．
③，解得m＜﹣1．
∴综上，m＞，m＜﹣1或m＝时当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点．。