题4-1 (a) (b) (c)
(d) (e) (f)
题4-2 解：
由开环传递函数容易得到3,0n m ==，三个极点分别为1230,42,42p p j p j ==-+=--，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(21)5,,
333
k πππ
θπ+=
=，渐近线与实轴交点为1
1
()()
8
3
n m
l
i
l i A p z n m
σ==----=
=--∑∑。

下面确定根轨迹的分离点和汇合点
2020
12()(0.050.41)00.150.81010
2,3D s s s s K dK s s ds
s s =+++=⇒
=---=⇒=-=-
计算根轨迹的出射角与入射角
2322(arctan())63.4
4
2
63.4
p p p π
θππθθ=---=-=-=
确定根轨迹与虚轴的交点
σ
j ω
O
σ
σ
σ
202
03
00,()(0.050.41)0
0.400080.050s j D s j j K K K K ωωωωωωωωω==-+++=⎧⎧-+==⎧=±⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==-+=⎪⎪⎩⎩⎩
令特征方程或
σ
题4-5 解：
由开环传递函数容易得到3,0n m ==，三个极点分别为1230,2,4p p p -=-=--=-，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(21)5,,
333
k ππ
π
θπ+=
=，渐近线与实轴交点为1
1
()()
2n m
l
i
l i A p z n m
σ==----=
=--∑∑。

下面确定根轨迹的分离点和汇合点
确定根轨迹与虚轴的交点
02
0300,()(2)(4)0
60004880
s j D s j j j K K
K K ωωωωωωωωω==+++=⎧⎧-+==⎧=±⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
==-+=⎪⎪⎩⎩⎩令特征方程或
020
12()(2)(4)0312802,233
D s s s s K dK s s ds
s s =+++=⇒
=---=⇒=-+
=--（舍去）
(2)
要产生阻尼振荡，需要00σω<≠且。

当102=3.08s K =-+
，所以，当03.148K <<时，系统呈阻尼振荡。

(3) 当048K =时，系统产生持续等幅振荡，振荡频率为(4)
=0.5arccos 0.5
60
ζββ⇒=⇒=±过s 平面原点，与实轴负方向夹角为60±作射线，与根轨迹的
交点即为主导极点。

由图知，主导极点为0.7 1.2j -±。

又
123123364.6
c c c c p p p p p p p ++=++=-⇒=-
所以
004.6*( 4.62)*( 4.64)07.176
K K --+-++=⇒=
题4-6 解：
(1)由开环传递函数容易得到3,1n m ==，三个极点和一个零点分别为
12310,1,3,2p p p z ==-=-=-，因此，有2条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为
(21)3,222
k πππ
θ+==，渐近线与实轴交点为1
1
()()
1n
m
l i l i A p z n m
σ==----==--∑∑。

下面确定根轨迹的分离点和汇合点
02()(1)(3)(2)0(1)(2)10.55
D s s s s K s s s s =++++=⇒++=⇒≈-
σ
(2)
=0.5arccos 0.5
60
ζββ⇒=⇒=±过s 平面原点，与实轴负方向夹角为60±作射线，与根轨迹的
交点即为主导极点。

由图知，主导极点为0.7 1.1j -±。

又
123123342.6
c c c c p p p p p p p ++=++=-⇒=-,
所以
002.6*( 2.61)*( 2.63)( 2.62)02.77
K K --+-++-+=⇒=
题4-9 解：
系统的闭环传递函数32222.50
(1)
10
2.5
s s s Ts Ts T s s s ++++=+⇒+=++，等效开环传递函数为12
(1)
() 2.5
T s G s s s +=
++。

由等效开环传递函数容易得到2,1n m ==，两个极点和一个零点分别为
1211313
,,122j j p p z -+--=
==-，因此，有1条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(21)1k πθπ+==。

下面确定根轨迹的分离点和汇合点
22012() 2.5(1)002 1.50
11D s s s T s dK s s ds s s =++++=⇒=⇒+-=⇒=-=-+
计算根轨迹的出射角与入射角
232
arctan 3161.6
2161.6
p p p π
θπθθ=+-==-=-
σ
题4-12 解：
由开环传递函数容易得到3,0n m ==，三个极点分别为1232p p p ===-，因此，有3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为(21)5,,
333
k πππ
θπ+=
=，渐近线与实轴交点为1
1
()()
2n m
l
i
l i A p z n m
σ==----=
=--∑∑。

下面确定根轨迹的分离点和汇合点
3020
12()(2)03(2)02D s s K dK s ds
s s =++=⇒
=-+=⇒==-
确定根轨迹与虚轴的交点
302
0300,()(2)0
6800864120
s j D s j K K K K ωωωωωωω==++=⎧⎧-++==⎧=±⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
=-=-=⎪⎪⎩⎩⎩令特征方程（舍去）或
(1) 令064
s
j K ωω⎧=⎪=⇒⎨=⎪⎩(2)
=0.5arccos 0.5
60
ζββ⇒=⇒=±过s 平面原点，与实轴负方向夹角为60±作射线，与根轨迹的交
点即为主导极点。

由图知，主导极点为1-±。

又
123123364
c c c c p p p p p p p ++=++=-⇒=-
所以
300(42)08
K K -++=⇒=
3
08
lim ()()lim
1(2)p s s K G s H s s →→===+
(3) 系统的闭环传递函数可以近似为
212()88
()()()24
c c C s R s s p s p s s ==--++
2222
0.54n n n ζωωζω=⎧=⎧⎪⇒⇒⎨⎨
==⎪⎩⎩
100%16.3%p M e
⇒=⨯=
1.8138p d t s πω⇒=
== 3
5% 34
2% 4s n s n t s
t s
ωζ
ωζ
⇒∆=≈=∆=≈
=。