东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题本试卷共6页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,选对得5分,选错得0分。
1.命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( )A .2,x x R e x ∀∈≤B .0200,xx R e x ∃∈> C .0200,x x R e x ∃∈≤ D .2,x x R e x ∀∈<2.若椭圆的右焦点为F ,过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P ,Q 两点,则的周长为( ) A .B .C .6D .83.不等式260x x -++<的解集是( )A .{}23x x -<<B .1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C .{3x x >或}2x <-D .13x x ⎧>-⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭4.下列命题为真命题的是( ) A .若0a b >>,则22ac bc > B .若0a b c >>>,则c c a b< C .若0a b <<,则2a ab <D .若0a b <<,则11a b< 5.在∆ABC 中,已知45A =︒,30B =︒,c =a =( ) A . B C 1D 16.在等差数列{}n a 中,n S 为前n 项和,7825a a =+,则11S ='F 60C PQF △A .55B .11C .50D .607.“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°,沿直线前进79米到达E 点,此时看点C 的仰角为45°,若2BC AC =,则楼高AB 约为( ). A .92米 B .83米 C .74米D .65米8.从某个角度观察篮球(如图甲),可以得到一个对称的平面图形,如图乙所示,篮球的外轮廓为圆O ,将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分,且AB BO OC CD ===,则该双曲线的离心率为( ) A .2 B .3 C .2D .5二、多项选择题:本题共4小题 ,每小题满分 5 分,共 20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分,部分选对得 3分,有选错的得 0 分. 9.下面命题正确的是( ) A .“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B .在∆ABC 中,“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件 C .设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D .设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件2922±10.已知0a >,0b >,且222a b +=,则下列不等式中一定成立的是( ) A .1ab ≥B .2a b +≤C .lg lg 0a b +≤D .112a b+≤ 11.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D .数列{}n a 为递减数列12.已知抛物线的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与E 交于,A B 两点,,C D 分别为,A B 在l 上的射影,且2AF BF =,M 为AB 中点,则下列结论正确的是( ) A . B .为等腰直角三角形 C .直线AB 的斜率为D .线段AB 的长度为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分, 13.抛物线的准线方程为__________________.14.220x ax ax ∀∈+-<R ,都成立.则a 的取值范围是__________.15.已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点,点A 在椭圆E 上,且1260F AF ∠=︒,122AF AF =,则椭圆离心率是___________.16.阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262190-年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆,现有∆ABC ,6AC =,sin C A =,则当∆ABC 的面积最大时,它的内切圆的半径为______.2:4E y x =90CFD ︒∠=CMD △24y x =四、解答题:本题共6小题,共70 分 。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.( 本小题满分10分)已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<,其中0a >;命题:q 方程22135x ym m +=--表示双曲线.(1)当1a =时,若命题p 为真,且命题q 为真,求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18.( 本小题满分12分)在①222b c a =+-②2cos 2a C b c =-,()22sin 12A B C +=+,这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,然后解答问题.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设∆ABC 的面积为S , 已知_______.(注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分) (1)求角A 的大小;(2)已知2b =,4c =,点D 在边BC 上,且AD 为BAC ∠的平分线,求ABD △的面积.19.( 本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5.(1)求C 的方程;(2)过F 作直线l ,交C 于B A ,两点,若直线AB 中点的纵坐标为1-,求直线l 的方程.20.( 本小题满分12分)2018年10月23日,习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布:历经5年规划,9年建设,总长约55公里,总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通,将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观,为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量,准备举办一场促销会。
据市场调查,当每张门票售价定为x 元时,销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动,决定进行门票价格改革,将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万张)成反比,并且根据调查,每张门票售价定为100元时,旅游公司获得的总利润为340万元.(每张门票的销售利润=售价-供货价格).(1)求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式,并写出定义域; (2)每张门票售价定为多少元时,每张门票所获利润最大?并求出该最大值.21.( 本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足2n n S a =-,n ∈+N ,数列{}n b 满足11b =,且1n n n b b a +=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设()3n n c n b =-,数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ,求证:8n T <;22.( 本小题满分12分)已知定点()1,0M -,圆()22:116N x y -+=,点Q 为圆N 上动点,线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ,记P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)过点M与N作平行直线1l和2l,分别交曲线C于点A、B和点D、E,求四边形ABDE 面积的最大值.东华高级中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试题答案一、单选题 CBCB AADB二、多选题 AD BC ABD ACD三、填空题 13. 14.(]8,0-16.6 四、解答题17.由22540m am a -+<,得()(4)0m a m a --<,...........1分 因为0a >,所以4a m a <<,即命题p :4a m a << ................2分由方程22135x y m m +=--表示双曲线,可得:(3)(5)0m m --<解得35m <<,即命题q :35m <<.....3分(1)若1a =,则命题p :14m << ,因为命题p 和q 均为真命题,所以1435m m <<⎧⎨<<⎩,所以34m <<,所以符合题意的m 的取值范围为:(3,4)................5分 (注:先将1a =代入求解的给相应分数)(2)由p 是q 的必要不充分条件,则有:q p ⇒但pq ,所以{|}m m q ∈ {|}m m p ∈,即{|35}m m << {|4}m a m a <<.........7分所以345a a ≤⎧⎨≥⎩,解得534a ≤≤........8分经检验54a =和3a =满足条件........9分 所以实数a 的取值范围是5[,3]4........10分161-=y18.解:(1)若选①:22243S b c a =+-, 则14sin 32cos 2bc A bc A ⋅=⋅,...........2分化简得tan 3A =,...........3分 0A π<<..........5分 ∴π3A =........6分若选②:2cos 2a C b c =-,则由正弦定理得()2sin cos 2sin sin A C A C C =+-,........1分 即2sin cos sin 0C A C -=,...........2分 ∵sin 0C ≠,.............3分0A π<<.........4分 ∴1cos 2A =,...........5分 则π3A =.............6分若选③:()23sin 2sin12AB C +=+,则有3sin 1cos 1A A =-+,......2分 化简得π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.......3分 7666A πππ<+<.............4分所以ππ62A +=,............5分 故π3A =..............6分(2)∵1sin 42212sin 2ABDACDAB AD BADS AB S AC AC AD CAD ⋅⋅∠====⋅⋅∠△△,.......8分 且1sin 232ABC S AB AC BAC =⋅⋅⋅∠=△,......10分 ∴2433ABD ABC S S ==△△........12分19.(1)抛物线C : )0(22>=p px y 的准线方程为,2px -=....1分由抛物线的定义可知3()52p--= 解得4=p ……………3分 ∴C 的方程为x y 82=.………4分(2)法一:由(1)得抛物线C 的方程为,焦点)0,2(F设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A , 则21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………....6分两式相减。