1 3 0 1 0 0 1 2. 设 A 0 1 0 ， B 0 2 0 ，则 AB 0 0 1 0 0 3
T T T
1 3a 3 1 1 3 3a 1 1.（7 分）计算行列式 D . 1 3 3 1 a 1 a 3 3 1
次型 f x1 , x2 , x3 =
x 1 0 x
其中 a1 , a2 , , an 均不为 0。
线性代数模拟题(3)
五、 （10 分） （线性代数 Ι 学生做）已知向量组：
α1 1,1,1 , α2 0,1,1 , α3 1,0,1 ,
T T T
β1 β 2 2
(B) k1 α1 k 2 α 2
β1 β 2 2
β β2 (C) k1 β1 k 2 β 2 1 2(A) A E (B) A E
β β2 (D) k1 β1 k 2 β 2 1 2
(C) 2 A E (D) A 4 E
a1 a2
ε1 1,2,1 , ε2 1,1,1 , ε3 1,1,0
T T T T
T
η1 1,3,5 , η2 6,3,2 , η3 3,1,0
T
(1) 求由基 ε1 , ε2 , ε3 到基 η1 , η2 , η3 的过渡矩阵 P ； (2) 若向量 α 在基 η1 , η2 , η3 下坐标为 1,0,2 ， 求 α 在基 ε1 , ε2 , ε3 下的坐标。
;
3. 设 α1 t ,1,1 , α2 1, t ,1 , α3 1,1, t 线 性 相 关 ， 则
2 1 0 * * * 2.（7 分）设 A= 1 2 0 ,矩阵满足 ABA 2 BA E ，其中 A 为 A 的 0 0 1
(1)证明矩阵 A E 可逆，并求其逆；(2)说明 A 的特征值只能取 1 或 2. 三、 （6 分）已知 α1 , α2 , , αr 是齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系，向 量 β 不是方程组 Ax 0 的解，试证向量组 β , β α1 , β α2 , , β αr 线性 无关。
八、 （14 分）用正交变换化二次型
2 2 2 f x1 x2 , x3 2 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
五*、 （10 分） （线性代数 Π / S 学生做）在线性空间 R 中给出两组基
3
为标准型，写出所用的正交变换，并判断二次型是否正定。
伴随矩阵，求矩阵 B . 3.（8 分）设 n 阶矩阵 A 满足 A 3 A 2 E O ,
2
t=
;
4. 设 β1 , β2 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解， α1 , α2 是 Ax 0 的基础解系，则 Ax b 的通解为 (A) k1α1 k 2 α 2
线性代数模拟题(3)
一、填空、选择题（每题 3 分，共 18 分）
a11
1. 若 a 21
a12 a 22 a 32
a13
4a11
2a11 3a12 2a 21 3a 22 2a 31 3a 32
a13 a 23 a 33
;
二、求解下列各题（共 22 分）
a 31
a 23 1, 则 4a 21 a 33 4a 31
T
六、 （10 分）已知向量组
1 0 3 1 2 1 3 0 t 1 α1 , α 2 , α 3 , α4 , α5 2 1 7 2 5 4 2 14 0 6 (1) 当 t 为何值时，向量组的秩为 3；
四、 （10 分）计算 n 阶行列式 Dn=
1 x 0 0 0
0 x 0 0
0 0
0 0 0
5. 已知 A 是 4 阶矩阵，若 A 的特征值是 1,-1,2,4，则可逆的矩阵是
1 0
a3 a n 1 an
1 1 2 1 6. 设实对称矩阵 A 1 2 则二 0 3 是二次型 f x1 , x2 , x3 的矩阵， 1 3 2
(2) 求出此时向量组的最大无关组，并将其余的向量用最大无关组线性表示。 七、 （10 分）求下列方程组的通解
(1)用施密特正交化方法将向量组 α1 , α2 , α3 化为规范正交向量组； (2)将 β 1,2,3 用该规范正交向量组线性表示。
T
2 x1 3 x 2 x 3 3 x 4 7 x 2 x 2 x 4 1 2 4 3 x 2 x 8 x 3 x4 0 2 3 1 2 x1 3 x 2 7 x 3 4 x 4 3