一．实数的基本概念1．无理数的概念：（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.（2）解读：1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.2）无理数的常见类型：①具有特定意义的数。
如π等；②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.2．实数的概念及分类：（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）分类：①按定义分：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩整数有理数实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数知识点睛实数、二次根式的基本概念②按性质分：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 （3）实数的性质：①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=.②绝对值：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩（4）实数和数轴上的点是一一对应的.π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质：形式：①0a ≥；②20a ≥0≥（0a ≥）0a ≥.性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（7）实数中无理数的常见类型：①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等；③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….（一）根据实数的定义解题：【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?－0.313 131…， π， ， 23， ， 3.14， 0.4829，1.020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），【例2】在实数010.1235中无理数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【拓展】22π 3.140.614140.10010001000017，，，，这7个实数中，无理数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例3】下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。
【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. (1)无理数都是开方开不尽的数.( ) (2)无理数都是无限小数.( ) (3)无限小数都是无理数.( )(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( ) (5)不带根号的数都是有理数.( ) (6)带根号的数都是无理数.( ) (7)有理数都是有限小数.( )(8)实数包括有限小数和无限小数.( )（二）实数的绝对值：【例5】求下列各数的相反数及绝对值： (1)364- (2)π-3【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.【拓展】｜x ｜=｜－π｜，求x 的值。
【例7】若01<<b 则2b ，b 1b 这四个数有下列关系（ ） A.b b b b 21<<<B.b b b b 21<<<C. 12b b b b <<<D.b b b b <<<12【例8】比较下列各组数的大小：(1)7和3 (2)二．二次根式的概念1. a≥0）的式子叫做二次根式2. 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号。
第二，被开方数是正数或0。
第三，二次根式a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根。
3.性质(1)2)(a =a （a≥0）．(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩a a =2（a≥0） a a -=2（a ＜0）a≥0，b≥0） a≥0，b≥0）（a≥0，b>0） a≥0，b>0）【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。
m ≤【例2】当x在实数范围内有意义【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义(1)；(2)；(3)【拓展2】x取何值时，下列各式有意义？(1) (2) (3) )12-【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：(1) (2) ；(3)3.最简二次根式a≥）中的a称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(3)分母中不含二次根式。
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？(1) (2) (3) (4) a＞b）(5)【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）．．A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】在下列二次根式中，最简二次根式有____________________。
【练习】下列根式）A．2个B．3个C．4个D．5个【例4】把下列各式化成最简二次根式。
)0x≥4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。
合并同类二次根式：(a b=+【例1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（）A 52x 和3xB 12ab 和13ab C x2y 和xy2D a 和1a2【例2】在27 、112、112中与 3 是同类二次根式的个数是（）A. 0B.1C.2D.3【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）【例3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（ ）A ．12与72B ．63与28C ．34x 与22xD ．18与23【例4】若a+b4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a 、b 的值为（ ）A a=2 , b=2B a=2 , b=0C a=1 , b=1D a=0 , b=2 或a=1 , b=1【巩固】若4a b b +与最简二次根式3a b +为同类二次根式，其中a ，b 为整数，则a =______，b =________；【例5】若最简二次根式35a -与3a +是可以合并的二次根式，则____a =。
【例6】下列二次根式中，与a 是可以合并的是（ ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a【例7】若最简二次根式22a b a b a b +++与是同类根式，求2b a -的值．1. 把下列各数分别填入相应的集合里83，-3.1459，-3π，,722-23，-87，-0.020202……，1.414,-7,1.2112111211112（相邻两个2之间1的个数逐次加1）(1)正有理数集合：{ ……}(2)有理数集合：{ ……} (3)无理数集合：{ ……} (4)实数集合： { ……} 2. x 取何值时，下列各式有意义：(1)2x - (2)2x- (3)2x -(4)213x x ++- (5)1x- (6)x课后作业3.求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)5- (2)3278(3) 1-π4.下列判断(1) 12 3 和13 48 不是同类二次根式；(2)145和125不是同类二次根式；(3)8x 与8x不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C .1 D. 0 5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 8x B.x 2－3 C.x －yxD. 3a 2b6.x 的取值范围是（ ）A ．12x ≥B ．12x ≤C ．12x = D ．x 可取一切值7.x 的取值范围是（ ） A ．3x -≥且0x ≠ B ．3x ≤且0x ≠ C ．0x ≠ D ．3x -≥8.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义?(1)(2)(3) (4)9.下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1) )3x ≤ (2)(3))0x ≤。