第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u ur 等价于四边形ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )平行四边形法则减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb例3：化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) A.AB B.DA C.BC D ．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA u u u r ＋CD u u u r ＋EF u u u r＝( )A ．0B ．BE u u u rC ．AD u u u rD ．CF u u u r(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE u u u r ＝λ1ABu u u r ＋λ2AC u u u r(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB u u u r －CB u u ur ＋CD u u u r |＝________4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD u u u r等于( )A ．－BC u u u r ＋12BA u u u r B ．－BC u u u r －12BA u u u r C ．BC u u u r －12BA u u u r D ．BC u u u r ＋12BA u u u r5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB u u u r ＋CD u u u r ＝BC u u u r ＋DA u u u r ；②AC u u u r ＋BD u u u r ＝BC u u u r ＋AD u u u r；③AC u u u r －BD u u u r ＝DC u u u r ＋AB u u u r.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.DD 12 巩固练习 1。

16a ＋6b 2。

C 3。

2 4。

A 5。

C 6．解：AB →＝AC →＋CB →＝－3a ＋2b ，∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23b .∴CE→＝CD →＋DE →＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b.3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB u u u r＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 巩固练习： 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r＝( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．04如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD u u u r ＝14AC u u u r ＋λAB u u u r(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 35．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC u u u r 2＝16，|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u u r |，则|AM u u u u r|＝________.例5．－13例6． [解] (1)证明：∵AB u u u r ＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，∴BD u u u r ＝BC u u u r ＋CD u u u r ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB u u u r .∴AB u u u r ，BD u u u r共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋14b 24．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP u u u r ＝12(OA u u u r ＋OB u u u r)．5．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP u u u r ＝λAB u u u r(λ≠0)⇔OP u u u r ＝(1－t )·OA u u u r ＋t OB u u u r (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R)⇔OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB u u u r |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →＝________例8.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN u u u u r＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)例9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB u u u r＝a ，BC u u u r ＝b ，CA u u u r ＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .巩固练习：1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.103．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.136．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是( )D A ．4 2，0 B ．4 2，4 C ．16,0 D ．4,07．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________.8．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________..例7．(－3，－3) 例8.A 例9．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.B C C C C D 2a －b 5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．特别注意：若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，2211e e b μμ+=则⎩⎨⎧==⇔=2211μλμλb a例10：（1）如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．（2）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r可用向量,a b r r 表示为_____（3）．如图，已知C 为OAB ∆边AB 上一点，且),(,2R n m n m ∈+==,则mn =__________变式训练：1.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，,则λ=（ ）AA ．23B ．13C ．13-D ．23-2..设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3.若M 为ABC ∆内一点,且满足AC AB AM 4143+=,则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为_________.4..若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )C A.15B.25C.35D.925例10：6 2433a b +r r29 A 12 1:4 C平面向量共线的坐标表示例11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？练习：1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn等于( )C A ．－2 B ．2 C ．－12 D.122．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC u u u r ＝2AB u u u r，求点C 的坐标．3．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；例11．解法一：∵2a －4b ≠0，∴存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．将a ，b 的坐标代入上式， 得(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)，得k －6＝14λ且2k ＋4＝－4λ，解得k ＝－1.解法二：同法一有k a ＋2b ＝λ(2a －4b )，即(k －2λ)a ＋(2＋4λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧k －2λ＝0，2＋4λ＝0.∴k ＝－1.1．C 2．解：(1)由已知得AB u u u r ＝(2，－2)，AC u u u r ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u ur .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC u u u r ＝2AB u u u r ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．3．[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613平面向量的数量积及应用知识梳理1．两个向量的夹角 (1)定义：已知两个__________向量a 和b ，作OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉．(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________．2．平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．(2)向量数量积的运算律①a ·b ＝__________(交换律) ②(a ＋b )·c ＝__________(分配律) ③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．3一、平面向量数量积的运算例1(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB u u u r ·BC uuur ，CD u u u r ；(2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.变式训练1．已知下列各式：①|a |2＝a 2；②a ·b |a |2＝b a ；③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列命题中：①→→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(； ② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(； ③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ； ⑤若,a bc b ⋅=⋅r r r r则a c =r r ； 其中正确的是______（答：①）3.23120oa b a b ==r r r r 已知，，与的夹角为，求2212323a b a b a b a b ⋅--⋅+r r r r r r r r （）；（）；（）（）（）4..已知3a =r ，4b =r ，a r 与b r 的夹角为43π，求(3)(2)a b a b -⋅+r r r r 。