数学必修5第一章、第三章测试卷班级： 姓名：一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 在ABC ∆中，已知角,334,22,45===b c B则角A 的值是（ ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15°2. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 3．下列说法正确的是( ) A ．a>b ⇒ac 2>bc 2B ．a>b ⇒a 2>b2C ．a>b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a>b4．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M>NB ．M ≥NC ．M<ND ．M ≤N5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．135<<x B ．13＜x ＜5 C ．2＜x ＜5 D ．5＜x ＜56．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B ·cos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．若关于x 的函数y ＝x ＋m 2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )A ．m>2B ．m<－2或m>2C ．－2<m<2D ．m<－28．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01509．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 10．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．411．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．812．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( ) A ．y ＝－4x B ．y ＝2－x C ．y ＝3x －4 D ．y ＝5－x二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝_________．15．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站多远？__________． 16．若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_________． 三、解答题：（本大题共5小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分） 17．(10分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)x －1x ＋2>1.18. 在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。

19．已知m∈R且m<－2，试解关于x的不等式：(m＋3)x2－(2m＋3)x＋m>0.20.如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的3倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？21. (12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A －cos2B＝3sin A cos A－3sin B cos B．(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．22．(12分)已知函数f(x)＝x 2＋(lga ＋2)x ＋lgb 满足f(－1)＝－2，且对于任意x ∈R ，恒有f(x)≥2x 成立．(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式f(x)<x ＋5.答案1. D2. D3. C解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0<b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确． 4.B解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0， 所以M ≥N . 5.A 6.A解析：因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，所以sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin(A ＋C )＝12，a >b ，所以A ＋C ＝5π6，B ＝π6，7.B解析：∵x ＋m 2x ≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 8. C 9.B解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 10. C解：当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.11. C解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，得bc ＝40.12．A解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A. 13.11解：由条件12×3×43＝12AC ·BC ·sin60°，∴AC ·BC ＝83，由余弦定理知AC 2＋BC 2－3＝2AC ·BC ·cos60°， ∴AC 2＋BC 2＝3＋AC ·BC ，∴(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝3＋3AC ·BC ＝11，∴AC ＋BC ＝11.14. 23π解：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .①又b ＋c ＝2a ，② ∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b ， ∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b2＝－12. ∴∠C ＝23π. 15. 5km. 16. 18解析：由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. 17.解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33， ∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}． (2)x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.18.证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B aA b a bB a A b B a A 由正弦定理得：2222sin sin bBa A = 2222112cos 2cos b a b B a A -=-∴19.解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x>1；当－3<m<－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x －m]>0，得x>1或x<mm ＋3；当m<－3时，得1<x<mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m<－2时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，m m ＋3∪(1，＋∞)；当m<－3时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1，m m ＋3.20．解：设到C 点甲船遇上乙船，则AC ＝3BC ，B ＝120°，由正弦定理，知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，即1sin ∠CAB＝3sin120°，sin ∠CAB ＝12.又∠CAB 为锐角，∴∠CAB ＝30°.又C ＝60°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝10， 又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°， ∴AC ＝103(海里)，因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了103海里．21.解：(1)由已知cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B 得．12(1＋cos2A )－12(1＋cos2B )＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A )＝sin(－π6＋2B )，∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝2π3，∵a ≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3.(2)由(1)知sin C ＝32，cos C ＝12， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝33＋410由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，又∵c ＝3，sin A ＝45.∴a ＝85.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝18＋8325.22.解：(1)由f(－1)＝－2知，lgb－lga＋1＝0，①∴ab＝10.②又f(x)≥2x恒成立，有x2＋x·lga＋lgb≥0恒成立，故Δ＝(lga)2－4lgb≤0.将①式代入上式，得(lgb)2－2lgb＋1≤0，即(lgb－1)2≤0，故lgb＝1.即b＝10，代入②，得a＝100.(2)由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1，∵f(x)<x＋5，∴x2＋4x＋1<x＋5.∴x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.∴不等式的解集为{x|－4<x<1}．。