（第5题）2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ .解析：34,Z i Z =-=双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为3抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025ni i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ .解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为2063如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.5设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ .解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c = 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即3e = 平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析：由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a = ，a =（舍去） 综上1a =-或a =在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -= 22a b ∴-= 2222a b ab ∴+-=1122a b +-⋅=, 0a b ⋅= ,a b ∴⊥ (2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-=，得 ()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点. 求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外 EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点EF AB ∴∥ AB 在平面ABC 中，EF 在平面外 EF ∴∥平面ABC EF 与EG 相交于E ,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC(2) 平面SAB ⊥平面SBC SB 为交线 AF 在SAB 中，AF SB ⊥ AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥ BC AB ⊥AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解：（1）241y x y x =-=-①②①与②联立得到圆心坐标()3,2C ∴圆方程为()()22321x y -+-= 切线斜率不存在时，不合题意 ∴设切线方程为3y kx =+1=解得0k =或34k =-∴切线方程为3y =或334y x =-+ （2）设(),24C a a -则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 设00(,)M x y由题意()()2200241x a y a -+-+=2MA MO =()22220000344x y x y ∴+-=+ 即()220014x y ++=M 存在∴圆()()22241x a y a -+-+=与圆()2214x y ++=有交点 即两圆相交或相切 ()()2222121d ∴-≤≤+即()()221024(1)9a a ≤-+---≤ 1205a ∴≤≤18. （本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径. 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =. (1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：(1)123cos ,cos 1350,0,054sin ,sin 135A C A B C A C πππ==<<<<<<∴==+=A B C π+()5312463sin =sin +=sin cos +cos sin =+=13513565B AC A C A C ∴⋅⋅ ==sin sin sin AC AB BCB C A∴ sin 465==1260=1040m sin 563C AB AC B ∴⋅⋅⋅(2) sin ==500sin ABC AC B⋅ 设乙出发()t 8t ≤分钟后，甲到了D 处，乙到了E 处 则有=50t+100AD 130AE t =根据余弦定理2222cos DE AE AD AE AD A =+-⋅⋅ 即2274001400010000DE t t =-+ ∴当14000352740037t ==⋅时，2DE 有最小值25074DE =设甲所用时间为t 甲，乙所用时间为t 乙，乙步行速度为V 乙 由题意1260126==min 505t 甲 1040500500t =2++1+=11+min 130V V 乙乙乙12650031135V ⎛⎫∴-≤-+≤ ⎪⎝⎭乙 解不等式得12506254314V ≤≤乙19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+ 0c =时，nn S b n=112244122342S b a S db a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d ad d d aS n a S n k a n S n k a S n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2）由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c+-==++n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩0d ≠00k c ∴≠∴=此时 222dk a d b =-=命题得证20. （本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.(1) 若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； (2) 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 解：（1）'1()f x x a -=- '()xg x e a =-由题意：'()0f x ≤对()1,x ∈+∞恒成立即1a x -≥对()1,x ∈+∞恒成立1a ∴≥()g x 在()1,+∞上有最小值0a ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在()1,+∞无最值 0a >时，由题意ln 1a >11 / 11 专业技术参考资料 a e >综上：a 的范围是：a e >（2）()g x 在()1,-+∞上是单调增函数∴'()0g x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立即xa e ≤对()1,x ∈-+∞恒成立 1a e -∴≤令()0f x =，则ln x a x =则有()f x 的零点个数即为y a =与ln x y x =图像交点的个数 令()ln ()0x h x x x=> 则'21ln ()x h x x -= 易知()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 在x e =时取到最大值1()0h e e=> 当0x →时，ln ()x h x x=→-∞ 当x →+∞时，ln ()0x h x x =→ ∴()h x 图像如下所以由图可知：0a ≤时，()f x 有1个零点 10a e <<时，()f x 有2个零点 1a e=时，()f x 有1个零点 综上所述：0a ≤或1a e=时，()f x 有1个零点 10a e<<时，()f x 有2个零点。