2014江苏高考数学试题及参考答案数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}-2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】212254i 20i 2120i z =+-=-3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】54．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】13当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为135．已知函数cos y x =与sin(2)y x ϕ=+(0π)ϕ≤<，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则ϕ 的值是________．【解析】π6由题意，ππ1sin(2)cos 332ϕ⨯+==，∵0πϕ≤<，∴2π2π5π333ϕ≤+<当且仅当2π5π36ϕ+=，π6ϕ=时等式成立6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ．(第6题)/cm(第3题)【解析】24∵60(0.150.25)24⨯+=7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得266622a a q a q=+，解得22q =，故4624a a q ==8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =， 则12V V 的值是________． 【解析】32设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232V S h V S h ==9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______．∵圆心(2,1)-到直线230x y +-=的距离d ==∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为=10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是_______．【解析】⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得302m -<<，舍去； 当0m <时，2mm <-，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎪⎨+=+<⎪⎩，解得0m <<11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线()2by ax a b x=+，为常数过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是_______．【解析】3-由已知，452b a +=-，又∵22b y ax x '=-，∴7442b a -=-，解得2b =-，1a =-∴3a b +=-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是_______．(第12题)PDCBA【解析】22∵14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=- ∴22133122564216162AP BP AD AB AD AB AB AD ⋅==-⋅-=-⨯-⋅，∴22AB AD ⋅=13．已知()f x 是定义在R 上且周期的3的函数，当[0,3)x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数 ()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是_____．【解析】10,2⎛⎫⎪⎝⎭由已知得曲线()y f x =与y a =在[3,4]x ∈-范围内有10个交点，数形结合得到102a <<14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=，则cos C 的最小值是_______． 62-由已知，22a b c =22222222131(2)+2442cos 222a b a b a ba b c C ab ab ab +-+-===2222ab ≥=2=时等号成立三、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程及计算步骤。

） 15．（本小题满分14分）已知ππsin 2αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，． ⑴求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵求5πcos 26α⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【解析】(1)∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=cos α== πππsin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)cos sin αα⎛=+== ⎝⎭(2)∵4sin 22sin cos 5ααα==-,223cos2cos sin 5ααα=-=∴5π5π5πcos 2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+⎪⎝⎭314525⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知PA AC ⊥，6PA =，8BC =，5DF =求证：(1)直线//PA DEF 平面；(2)平面BDE ABC ⊥平面．(第16题)PF EDCB A【证明】(1)∵D E 、为PC AC 、中点，∴//DE PA∵PA⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF∴//PA DEF 平面(2)∵D E 、为PC AC 、中点，∴132DE PA ==∵E F 、为AC AB 、中点，∴142EF BC == ∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=︒，∴DE EF ⊥ ∵DE PA ∥，PA AC ⊥，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F 、分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1F C ．(1) 若点C 的坐标为4133⎛⎫⎪⎝⎭，，且2BF =求椭圆的方程；(2) 若1FC AB ⊥,求椭圆离心率e 的值．(第17题)【解析】(1)∵41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴22161991a b +=，即221619a b +=∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=(2)设焦点()1,0F c -，()2,0F c ，∵()0,B b ，∴直线2:bBF y x b c=-+与椭圆方程联立得22221x y a b b y x bc ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得2221120x x a c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得0x =或2222a cx a c =+∵22222222,a c a b A b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且A C 、关于x 轴对称 ∴22222222,a c a b C b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴12222222322223F C a bb a b bc a c k a c a c c ca c --+==+++ ∵1AB CF ⊥∴222313a b bc b a c c c -⎛⎫⨯-=- ⎪+⎝⎭由222b ac =-得2215c a =，即5=5e18．（本小题满分16分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥 BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=(1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？(第18题)北东170m60mO MCBA【解析】⑴ 过B 作BE OC ⊥于E ，过A 作AF BE ⊥于F ，∵90ABC ∠=︒，90BEC ∠=︒∴ABF BCE ∠=∠∴4tan tan 3ABF BCO ∠=∠=设4(m)AF x =，则3(m)BF x =∵90AOE AFE OEF ∠=∠=∠=︒ ∴四边形AOEF 为矩形∴4(m)OE AF x ==，60m EF AO == ∴(360)m BE x =+ ∵4tan 3BCO ∠=，∴3945m 44CE BE x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴9445m 4OC x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴94451704x x ++=∴20x =，∴120m BE =，90m CE =． ∴150m BC =(2)设BC 与M 切于Q ，延长QM CO 、交于P ∵90POM PQC ∠=∠=︒ ∴PMO BCO ∠=∠ 设m OM x =，则4m 3OP x =，5m 3PM x = ∴4170m 3PC x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴16136m 15PQ x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设M 半径R∴1653136m 136m 1535R MQ x x x ⎛⎫⎛⎫==+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵A O 、到O 上任一点距离不少于80m则80R AM -≥，80R OM -≥∴()313660805x x ---≥，3136805x x --≥∴1035x ≤≤∴R 最大当且仅当10x =时取到 ∴10m OM =时，保护区面积最大19．（本小题满分16分）已知函数()e e x x f x -=+，其中e 是自然对数的底数 (1) 证明：()f x 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式()e 1x mf x m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【解析】(1)x ∀∈R ,()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数(2)由题意，(e e )e 1x x x m m --+≤+-，即(e e 1)e 1x x x m --+-≤-∵(0,)x ∈+∞，∴e e 10xx-+->，即e 1e e 1x x xm ---≤+-对(0,)x ∈+∞恒成立 令e x t =(1)t >，则211tm t t -≤-+对任意(1,)t ∈+∞恒成立.∵22111111(1)(1)131+11t t t t t t t t --=-=-≥--+-+-+-+-，当且仅当2t =时等号成立∴13m ≤-⑶()e e x x f x -'=-，当1x >时()0f x '>，∴()f x 在(1,)+∞上单调增令30()(3)h x a x x =-+，00()3(1)h x ax x '=-- ∵0a >，1x >，∴()0h x '<，即()h x 在(1,)x ∈+∞上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即11(e )2ea >+∵e 1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ----=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1()1a m a a a ---'=-=，11(e )2ea >+ 当11(e )e 12ea +<<-时()0m a '>，()m a 单调增；当e 1a >-时()0m a '<，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时()0m a <，当11(e )e 2ea +<<时()0m a >，当e a =时()0m a =∵e 11()0e a m a a --<⇔<，e 11()0e a m a a -->⇔>，e 11()0e a m a a --=⇔=故当11(e e )e 2a -+<<时e 11e a a -->；当e a =时e 11e a a --=；当e a >时e 11e a a --<20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．(1) 若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：则称{}n a 是“H 数列”； (2) 设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+成立． 【解析】(1)当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” (2)1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对*n ∀∈N ，*m ∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n dn m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又*m ∈N ，∴1m =，∴1d =- ⑶设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对*n ∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对*n ∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}n b 、{}n c 为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m = 当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，*m ∈N 因此对n ∀，都可找到*m ∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为H 数列 {}n c 的前n 项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对*n ∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴*m ∈N即对*n ∀∈N ，都可找到*m ∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为H 数列 因此命题得证数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：OCB D ∠=∠B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵121A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a ，,x y 是实数，若A B =a a ，求,x y 的值C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程21222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，直线l 与抛物 线24y x =相交于,A B 两点，求线段AB 的长 D ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0x >，0y >，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥【解析】A ．证明：OC OB =，∴OCB B ∠=∠，又∵B D ∠=∠，∴OCB D ∠=∠B ．解：222y A xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦a ，24y B y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦a ，由A B =a a 得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，解得12x =-，4y =C ．解：直线:3l x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，故228882AB =+= D ．证明：由均值不等式223223131131x y x yx y x y⎧++⨯⨯⎪⎨++⨯⨯⎪⎩≥≥分别当且仅当21x y ==，21x y ==时候等号成立因此()()223331199x y x y x y xy ++++≥当且仅当1x y ==的时候等号成立【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同(1) 从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P(2) 从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X【解析】(1)一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C +C +C 10=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P == (2)X 的所有可能取值为4,3,2，则4449C 1(4)C 126P X ===，3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===，于是11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-== ∴X 的概率分布列为故X 的数学期望23414631269EX =⨯+⨯+⨯=23.（本小题满分10分）已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N (1) 求12πππ2()()222f f +的值(2) 证明：对任意*n ∈N ，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立【解析】(1)0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x += 两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*) 将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=- (2)下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n k x n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立 当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即32()3()cos xf x f x x +=- 假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立 若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N11 由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立 若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N 由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立 若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N 由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立 综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立代入π4x =得1πππ()()4442n n nf f -+=±，两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=。