长沙理工大学考试试卷
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试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
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课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号
专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）
1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）
2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）
3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷
问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ
).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可
表示为=)(0M u dS n
G z y x f ⎰⎰Γ∂∂-)
,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1
1
1050358⎰-=dx x P x P ； （ ）
5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则
[])()(021ax xJ a ax xJ dx
d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．
2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.
0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．
3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．
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4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：
⎩
⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=at
x at x ds s a at x at x t x u )(212)
()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u t
xx tt ψϕ 的解．
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长沙理工大学试卷标准答案
课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03
一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）
1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．
二．解答题：（本题总分65分）
1．（本小题15分）
泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分
2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为
∑∞==0cos
)(),(n n l
x n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得
l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞
=， ……………10分 于是
),1(0)()(2
≠=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分
显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；
当1=n 时，解上面的微分方程得
ττπωτπd t l a A a l t u t
)(sin sin )(0
1-=⎰
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⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 1
22， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=。

……………20分 3．（本小题15分）
由于xy y x f =),(是自变量y x ,的二次多项式，设它的特解为
33),(B x y y Ax y x u +=， ……………7分
代入方程，得
xy xy B A =+)(6， ……………10分
故33),(Bxy y Ax y x u +=中满足1)(6=+B A 都是其特解，如y x y x u 361),(=
．……15分 4．（本小题15分）
因为 2
2c o s 2c o s s i n ),(22B A B A B A R u ++-=+=θθθθ 故可设其解为 C Er Dr r u ++=θθθ2cos 2sin ),(22，
其中C E D ,,为待定常数． ……………5分 易证 C Er Dr r u ++=θθθ2cos 2sin ),(22满足泛定方程． ………………8分 由边界条件有
2
2c o s 22c o s 2s i n ),(22B A B A C ER DR R u ++-=++=θθθθ， 于是 0,2,22=+=-=
D B A C R
B A E ， …………………14分 故原定解问题的解是 θθ2c o s 22),(2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=R r B A B A r u ． …………………15分 三．证明题：（本题总分10分）
证明：先证明),(t x u 满足泛定方程．
[][])()(2
1)()(2at x at x at x at x a u t -+++-'-+'=ψψϕϕ
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[][])()(2
)()(22at x at x a at x at x a u tt -'-+'+-''++''=ψψϕϕ …………3分 [][])()(21)()(21at x at x a
at x at x u xx -'-+'+-''++''=ψψϕϕ …………5分 故 [][])()(2
)()(22at x at x a at x at x a u tt -'-+'+-''++''=ψψϕϕ [][]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-'-+'+-''++''=)()(21)()(212at x at x a at x at x a ψψϕϕ xx u a 2=； …………8分
再证明),(t x u 满足初始条件．
)(2)
()()0,(x x x x u ϕϕϕ=+=； …………………9分
[][])()()(2
1)()(2)0,(x x x x x a x u t ψψψϕϕ=++'-'=
． 所以结论成立． …………………10分
第3页（共3页）。