1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
多值函数的支点一定是函数的奇点。
z
r

c1
二、初等多值函数
1.4 初等解析函数
z（二） 3
z（一）


W2
W1
二、初等多值函数
1.4 初等解析函数
z（二）
4
z（一） 2 0
W1 W2 W1
2
二、初等多值函数
根式函数（图）
1.4 初等解析函数
w3 z :
二、初等多值函数
黎曼面
1.4 初等解析函数
w z : 支点为 z 0, ；一阶。
则记 w n z 称根式函数
#
(n 2,3,) （2）多值性的体现 体现在z 的 幅角与w 的幅角的对应关系上
z
（3）支点
当变量绕其一周时函数值会改变的点
绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
（4）单值分支 限制z的变化范围得到的若干单值函数 c2 （5）支割线 连接支点割开z平面的线 （6）黎曼面 互相交叠的若干叶z平面 （7）解析性 每一单值支均解析
（2）解析区域 复平面 （除分母为0外） （3）与实函数相同性质
（4）新性质
(sin z )' cos z, (cos z )' sin z sin( z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2
sin z 和 cos z 可大于任何正数
#
一、初等单值函数
3. 三角函数（图）
1.4 初等解析函数
w sin z
w cos z
一、初等单值函数
4. 双曲函数
（1）定义
1.4 初等解析函数
e z e z e z e z sinh z , cosh z 2 2 sinh z cosh z tanh z , coth z , cosh z sinh z 1 1 sec hz , csc h z cosh z sinh z
§1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数
（1）定义
w z (n 0, 1, 2,)
n
（2）解析区域
除了z=0的复平面。
（3）与实函数相同的性质
z z z
m n
m n
;
（4）新性质 P( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n w (an , bm 0) 2 m Q( z ) b0 b1 z b2 z bm z
小结
一、初等单值函数
n
1.4 初等解析函数
w z (n 0, 1, 2,) z x iy x w e e e (cos y i sin y)
e z e z e z e z sinh z , cosh z 2 2 sinh z coth z tanh z , coth z , cosh z sinh z 1 1 sec hz , csc h z cosh z sinh z
eiz e iz eiz e iz sin z , cos z 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z , cot z , sec , csc cos z sin z cos z sin z
二、初等多值函数
1.根式函数 若 w
n
小结
1.4 初等解析函数
z
则记 w n z 称根式函数
则
2.对数函数 若 z e w 概念：
（1）支点 （2）单值分枝 （3）支割线 （4）里曼面 （5）解析性
w Lnz
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
当变量绕其一周时函数值会改变的点
绕其 n 周后函数值还原的支点为n-1阶支点
e 0; e e e
（4）新性质
;
e
z i 2 kπ
e (k 0, 1, 2, )
z
e
z
的实部不一定大于0
#
一、初等单值函数
2.指数函数（图）
1.4 初等解析函数
we
z
一、初等单值函数
3. 三角函数
1.4 初等解析函数
eiz e iz eiz e iz , cos z （1）定义 sin z 2i 2 sin z cos z 1 1 tan z , cot z , sec , csc cos z sin z cos z sin z
限制z的变化范围得到的若干单值函数
连接支点割开z平面的线 互相交叠的若干叶z平面 每一单值支均解析
z=cplxgrid(30); cplxmap(z,z.^2); colorbar('vert'); title('z^2')
本节作业
1.4 初等解析函数
习题1.4
6（2）；7（3）
（2）解析区域
复平面
（3）与实函数相同的性质 cosh 2 z sinh 2 z 1;
一、初等单值函数
1.4 初等解析函数
初等单值函数与相应实函数的定义 在形式上相同；
在其定义域内均解析； 除具有某些新性质外具有与相应实 函数所具有的性质。
二、初等多值函数
1.根式函数 n 若 （1）定义 w