第十二章 无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．下列级数中，收敛的是（ ）2100111111()22223++++++++A n 2111111()23100222++++++++n B211111()(1)()()2222+++++++n C n2111111()(1)()23222++++++++++n D n2．设1∞=∑nn u为数项级数，下列结论中正确的是（ ）1()lim,1+→∞=<n n n u A l l u ，级数绝对收敛.1()lim,1+→∞==n n nu B l l u ，级数发散.1()lim,1+→∞=<n n nu C l l u ，级数绝对收敛. 1()lim,1+→∞=<n n nu D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数1∞=∑nn n a x的收敛半径2=R ，则对幂级数1(3)∞=-∑nn n a x 而言，下列的x 值不能确定收敛或发散的是（ ）()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x4. 设常数0>k ，则级数121(1)∞-=+-∑n n k nn （）.()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0)()2(2)πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.()()()2()02πππA B C D二、填空题(每小题4分，共20分)6.级数111()23∞=+∑n nn 的和为. 7. 幂级数2112(3)∞-=+-∑n n nn n x 的收敛半径为. 8. 已知级数12111(1)2,5∞∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1∞==∑n n u .9．将1()2=-f x x展开为x 的幂级数时，其收敛域为. 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为11ln(1)(1)∞-=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得112ln 3(1)∞-==-∑n n n n . 12. （8分）讨论级数∞=n 的敛散性. 13. （8分）求级数2012!∞=+∑nnn n x n 的和函数. 14. （8分）将2125()65-=--xf x x x 展开为x 的幂级数.15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n na a a a.16. （8分）利用对展开式11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里叶级数.17. （8分）已知22116π∞==∑n n ，求10ln 1+⎰x dx x .18.（9分）设有级数212(2)!∞=+∑nn x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于2100111222+++是常数，11123++++n 发散，因此()A 发散.由于11123100+++是常数，2111222++++n 收敛，因此()B 收敛.由于 211111(1)()()2222+++++++n n2111111(1)()23222=++++++++++n n这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2.解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令(1)=-nn u n ，11(1)(1)lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n nu n u n ，但级数1(1)∞=-∑n n n 发散. 令21=n u n ，2121(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n nu n u n ，但级数211∞=∑n n 收敛，所以()B 不正确.若11lim lim 1++→∞→∞==<n n n n n nu u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 在32-<x ，即15<<x 内绝对收敛，在5>x 或1<x 处发散，在1,5=x 不能确定，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于111221111(1)(1)(1)∞∞∞---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 22lim 01→∞=>n kn k n ，得121(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而111(1)∞-=-∑n n n 条件收敛，则级数 121(1)∞-=+-∑n n k nn 条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 2π=x 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于(20)(20)0(2)222πππππ-+++===f f S故选()A .『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点0=x x ，级数收敛到0()f x ；在函数的间断点0=x x ，级数收敛到00(0)(0)2-++f x f x .『特别提醒』首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6.3289. (2,2)- 10. 2π+答案详细解析6. 解 由于级数1111,23∞∞==∑∑n n n n 均为等比级数，且公比1<q ，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故111111111332()11232321123∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑n n n n n n n 『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质. 『特别提醒』 等比级数的和为1(1)1<-a q q，一定记住分子为第一项. 7. 解211121112112(3)2(3)limlim lim 2(3)2(3)++++++→∞→∞→∞-++-+-==+-+-n n n n n n n n n n n n nn nn x u x n u x2212()113lim 233()13→∞+-+==-+n n n x x由比值审敛法知：当213<x，即<x 213>x，即>x级数发散，因此级数的收敛半径为=R『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数1∞=∑n n u 收敛时，原级数1∞=∑n n u 绝对收敛；而级数1∞=∑n n u 发散时，原级数1∞=∑nn u 也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即lim 0→∞≠n n u ，此时lim 0→∞≠n n u ，故级数1∞=∑n n u 也发散.『特别提醒』观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令2=t x ）.8. 解 由题设112342113511(1)2,5∞∞--==-=-+-+==+++=∑∑n n n n n u u u u u u u u u1234135123412()()∞==++++=+++--+-+∑nn uu u u u u u u u u u u121112(1)2528∞∞--===--=⨯-=∑∑n n n n n u u『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于111()2212==--f x xx ，则当 12<x ，即2<x 时，函数可以展开为x 的幂级数，故收敛域为(2,2)-.『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式200221(1)(1)22πππππ=+=+=+⎰a x dx x『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：2()cos (0,1,2,)ππ==⎰n a f x nxdx n则 01()cos 2∞==+∑n n a f x a nx （x 在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数ln(1)+x 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为11(1)∞-=-∑nn n x n，而是在区间(1,1]-上，11ln(1)(1)∞-=+=-∑nn nx x n，故运算错误. 『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域. 12. 解当3≥n 时，1<≤，又 1=n ，由夹逼准则知10=≠n ，故级数2∞=n . 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件：1∞=∑n n u 收敛lim 0→∞⇒=n n u .即若lim 0→∞≠n n u ，则1∞=∑n n u 发散.『特别提醒』 解题过程中用到了结论1=n ，证明如下：由于 ln ln 1limlim0limlim 1→+∞→+∞→+∞=====x x xx xxxx x eeee故1=n一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如1(0)=>n a ；1=n 等.13. 解 222000111(1)1()()()2!!2!2(1)!2∞∞∞∞====+-+=+=+-∑∑∑∑xn n n nnn n n n n n x x n x x e n n n n22111()()(2)!2(1)!2∞∞===++--∑∑xn nn n x x e n n22122111()()4(2)!22(1)!2∞∞--===++--∑∑x n n n n x x x x e n n 222242=++xx x x xe e e 『方法技巧』 本题考查函数xe 的展开式：0()!∞==-∞<<+∞∑nxn x e x n . 展开式0!∞==∑nxn x e n 中，三处的n 要相同.『特别提醒』若对∑符号不熟悉，可以将每一项直接写出.在20()!2∞=∑nn n x n 中，n 从0开始取，但在1(1)1()(1)!2∞=-+-∑nn n x n 中，n 从1开始取. 14. 解 21256(1)(6)6111()65(6)(1)6111()6---+===+=+--+-+----x x x f x x x x x x x x x 01(1)()616∞==-+∑n n n xx （16<x 即6<x ） 011∞==-∑n n x x （1<x ） 故 2000125(1)()(1)()[1]6566∞∞∞===--==-+=+--∑∑∑n n n nn n n n n x x f x x x x x （1<x ） 『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .首先利用分式的性质，将2125()65-=--x f x x x 化为标准形式1111()6+---x x . 15. 解所求极限实际上是级数1∞=∑n n na 的和，所以考虑幂级数1∞=∑n n nx .令 1211()[]()1(1)∞∞-==''====--∑∑n n n n x xS x x nxx x x x x （11-<<x ）故 2221121lim()()1(1)(1)→∞+++===--n n n a a S a aa a a a『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当(,)ππ∈-x 时，有11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n ，而()=f x x 在(,)ππ-内连续，对展开式逐项积分得1001(1)2sin +∞=-=∑⎰⎰n xxn xdx nxdx n 1122011(1)(1)2cos 2(1cos )++∞∞==--=-=-∑∑n n xn n nx nx n n 故 112222111(1)(1)(1)4(1cos )44cos ++∞∞∞===---=-=+∑∑∑n n nn n n x nx nx n n n021(1)4cos 2∞=-=+∑nn a nx n由傅里叶系数公式知 2200223πππ==⎰a x dx ，因此3221(1)4cos ()3πππ∞=-=+-<<∑nn x nx x n『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的,n n a b 计算比较复杂）.17. 解11100000ln ln [(1)](1)ln 1∞∞===-=-+∑∑⎰⎰⎰n nn n n n x dx x x dx x xdx x 1112000(1)(1)ln 1(1)+∞∞+==--==++∑∑⎰nn n n n xdxn n 2200112(2)∞∞===-+∑∑n n n n 2222201116262612ππππ∞==-+=-+=-∑n n『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为x的幂级数，逐项积分再求和.『特别提醒』122220(1)1111(1)234+∞=-=-+-+-+∑n n n222221111112()23424=-----+++222220000011111112(2)22∞∞∞∞∞======-+=-+=-∑∑∑∑∑n n n n n n n nn n 18. 解 当(,)∈-∞+∞x 时，记21()2(2)!∞==+∑nn x y x n ，则211()(21)!-∞='=-∑n n x y x n ，22211()1()1(22)!(2)!-∞∞==''==+=--∑∑n nn n x x y x y x n n 且(0)2,(0)0'==y y ，则 ()()1()1()10''-+=--+=y x y x y x y x ，故()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x .由于幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程()()10''-+=y x y x 的满足条件(0)2,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210-=r ，特征根为1=±r ，对应的齐次方程的通解为12-=+x x Y C e C e ，观察知1*=y 是方程的一个特解，故其通解为121-=++x x y C e C e ，将(0)2,(0)0'==y y 代入得1212==C C ，即11()122-=++x x y x e e ，即幂级数211121(2)!22∞-=+=++∑n x x n x e e n『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为*=y A （0λ=不是特征根），代入原方程中，求出特解.。