它们相互正交的充分必要条件是
Edu u F (du v dv u) Gdv v 0 .
正交曲线网
在参数曲面 S : r r (u, v) 上，参数曲线网是正交 曲线网 F 0 . 对于参数曲面 S : r r (u, v) 上的一条曲线 C : u u(t ), v v(t ), t [a, b] ，它的弧长为
第一基本形式
两个切向量 dr rudu rvdv 和 r ru u rv v 之间的 夹角 (dr , r ) 满足
cos (dr , r ) dr r | dr || r | Edu u F (du v dv u ) Gdv v Edu 2 2 Fdudv Gdv 2 E u 2 2F u v G v 2
L | dr | | r (u(t ), v(t )) | dt
a a b b b
a

Eu2 2 Fuv Gv 2 (t )dt
.
面积元素
定义 称 d EG F 2 dudv 为曲面 S 的面积元 素，称
A d
D D
EG F 2 dudv
2 2
第一类基本量之间的关系为
u 2 u v v 2 E ru 2 E u 2 F u u G u , u u u v u v v F ru rv E u v F u v v u G u 2 u 2 u v v 2 G r E 2 F G v v . v v v v v
为曲面 S 的面积.
曲面的几何量
曲面上曲线的弧长 L ，曲面的面积元素 d 以 及曲面的面积 A 都是几何量.

[a, b]
D
r r1
C S

D1
1
r1
,
新的参数 u, v 下，第一基本形式保持不变：
E F du E F T du E F du I (du, dv ) ( du , dv ) J J ( du , dv ) F G dv F G dv I dv F G
第一基本形式
设 S : r r (u, v) 是 E 3 中一个正则参数曲面. 则 dr (u, v) ru (u, v)du rv (u, v )dv 是曲面上任意一点 r (u, v ) 处的 切向量，这个向量作为 E 3 中的向量可以计算它的长度. 令 E (u, v) ru (u, v) ru (u, v) : ru ru (u, v) ， F (u, v) ru rv (u, v) rv ru (u, v) ， G(u, v ) rv rv (u, v ) . 这三个函数 E, F , G 称为曲面 S 的第一类基本量.
.
第一基本形式
第一基本形式与参数选择无关，也与 E 3 的标 架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可 由微分形式不变性直接得到： I dr dr | dr | .
2
第一基本形式
如果 dr rudu rvdv 和 r ru u rv v 是 r (u, v) 处的 两个切向量，则它们的内积为
第一基本形式
利用第一类基本量 E, F , G 的定义，有
dr dr (ru du rv dv )2 Edu 2 2Fdudv Gdv 2 .
这是一个关于变量 du, dv 的二次型，称为曲面 S 的 第一基本形式(first fundamental form)，记为
E F du I dr dr Edu 2 Fdudv பைடு நூலகம்dv (du, dv) F G dv .
E F du dr r (du, dv ) Edu u F (du v dv u) Gdv v F G dv
. 因此切向量 dr rudu rvdv 的长度为
| dr | Edu 2 2Fdudv Gdv 2 .
第一基本形式
而矩阵 F
E F G
称为切空间(关于基底 ru , rv )的度
量矩阵(metric matrix). 由于 E 3 的度量是正定的， 这是一个正定矩阵. 事实上， 它的 2 个顺序主子式 均 0： 2 2 E ru ru 0 ， EG F 2 ru ru rv rv ru rv ru rv 0 . (Lagrange 恒等式)