边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于：
1、 物理量的转换;
2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变量的变换：
l11 l12 l13
l21
l22
l23

l31 l32 l33
对平面问题： ij

x yx
xy y



x
1 2

yx
1 2

xy

y



cos sin
sin
cos

T
在A内任一点（ ，）取出一个微分
体，考虑其平衡条件。
微分体--由夹角为 dφ的两径向线和距离 为 d ρ的两环向线围成。
注意：
两 面不平行，夹角为 dφ；
两面面积不等，分别为ρdφ ，ρd ρdφ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
平衡条件
平衡条件：
考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平
lmj
,
T TT ,
T T T
ij yxx zx
xy y zy
xz yz z



x
1 2

yx
1 2

zx
1 2

xy
y
1 2

zy
1
2 1
2

xz yz

z

衡，列出3个平衡条件:
F 0, F 0, M c 0。
注意： cos d 1, sin d d .
2
2
2
MC 0 --通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得
。
Fρ 0--通过形心C的 ρ 向合力为0，
(


或
u u cos vsin , u u sin v cos。 (d)
坐标变换
导数的变换：
将对 x, y的导数，变换为对 ρ,φ的导数： Φ(x, y) 可看成是 Φ Φ(ρ,φ) ，而ρ,φ又
是 x, y的函数，即 Φ是通过中间变量 ρ,φ，

f
0

4 1
几何方程--表示微分线段上形变和位移
之间的几何关系式 。
极坐标系中的几何方程可以通过微元变
形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方
法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐
标与极坐标之间的关系，有
x cos, sin , sin , cos
)(

d )d
d

(


d )d
sin
d
2
d
sin
d
2

(


d)d cos
d
2



d
cos
d
2

f dd
0,
整理，略去三阶微量，得


1





f
0。

几何方程
由此可得 x cos2 sin 2 sin cos 比较可知


u

,



1

u

u

,



u


1

u

u

。

4 2
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程， 且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且
ρ 与 φ 为正交，
故物理方程形式相似。
物理方程
平面应力问题的物理方程：


1 E
(

),


1 E
(




),




2(1 E

)
。
对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E

E
1
2
,
。 1
极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引
起弹性力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
x
y
x
y
注意：u u cos u sin 可求得
x
Hale Waihona Puke u x cos2
u

sin 2

1

u


u

sin cos
1

u


u


u


根据张量的坐标变换公式
ij


l'
km ki
(a)
同理，由 Fφ 0 通过形心C的 φ向合力为0
可得：
f 1 2 0。 (b)


极坐标下的平衡微分方程：


1





f
0
1





2
x cos, ysin; (a)
反之
2 x2 y2, arctan y。 (b)
x
函数的变换：将式(a) 或(b) 代入，
Φ(x, y) Φ(ρ,φ).
坐标变换
矢量的变换：位移 d (u, v) (uρ ,uφ ),
u u cos u sin , v u sin u cos。 (c)

cos sin
sin
cos


x

1 2

yx
1 2

xy
y


cos sin

sin

cos


1 2


1 2




cos sin
sin
cos

第一节 极坐标中的平衡微分方程 第二节 极坐标中的几何方程及物理方程 第三节 极坐标中的应力函数与相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移
直角坐标(x,y)与极坐标 (,) 比较：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x 和y 的量纲均为L。