解：由于 所以分布函数为
由于 服从参数为 的指数分布，所以分布函数为
与 相互独立，故 的分布函数为
对分布函数求导以后得 的密度函数
3.23设随机变量 ,并且 与 相互独立,求 的概率密度函数.
解：由于 所以分布函数为
由于 ，所以分布函数为
与 相互独立，故 的分布函数为
对分布函数求导以后得 的密度函数
,显然有 ，X与Y不独立.
3.17设二维随机向量 的概率密度函数为
,问X与Y是否相互独立?
解：因为
对于x>0,y>0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的.
3.18设二维随机向量 的分布函数为
讨论 的独立性.
解：因为
由于
所以，X与Y是相互独立的。
3.19设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求X+Y
其他情形，由于 =0，显然有 =0。综合起来，有
(2)求
3.6向一个无限平面靶射击,设命中点 的概率密度函数为
求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.
解：
3.7设二维随机向量 的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
3
0.05
0.18
0.02
解：因为
0
2
5
P
1/5
18/25
2/25
(3)当Y=0时，X的条件分布为
即
X
1
3
P
3/4
1/4
(4)当Y=2时，X的条件分布为
即
X
1
3
P
0.581
0.419
(5)当Y=5时，X的条件分布为
即
X
1
3
P
0.946
0.054
3.12设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0< x <1)时,Y在区间(x,1)上
X\Y
1
2
2
0
0.6
3
0.4
0
3.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出
现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.
解：因为 ，又X的可能取值为0,1,2,3
所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
且 ，
，
故(X,Y)的概率分布为
3.21设二维随机向量 的概率密度函数为
求 的概率密度函数.
解:根据书中72页（3.7.1）式, 的概率密度函数可以写为
当 时,若 ，
则 ，
若 或 ，被积函数为0，此时显然有 ；
当 时，若 ,
则 ，
若 或 ，被积函数为0，此时显然有 ；
的其他情形,显然有 .综合起来，有
3.22设随机变量 服从参数为 的指数分布,并且 与 相互独立,求 的概率密度函数.
的概率密度函数.
解：由于X与Y均服从区间(0,1)上的均匀分布，故X与Y的边缘密度函数分别为：
，
记 ,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式, 的概率密度函数可以写为
当 时,若 ，则 ；若 或 ，被积函数为0，此时显然有 .
当 时，若 ,则 ，若 或 ，被积函数为0，此时显然有 ；
所以，X的边缘分布密度为
又因为，当 时，
所以，Y的边缘分布密度为
3.11求习题3.7中的条件概率分布.
解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3
Y
0
2
5
P
0.75
0.25
P
0.20
0.43
0.37
(1)当X=1时，Y的条件分布为
即
Y
0
2
5
P
1/5
1/3
7/15
(2)当X=3时，Y的条件分布为
即
Y
X\Y
1
3
0
0
1/8
1
3/8
0
2
3/8
0
3
0
1/8
3.4设二维随机向量 的概率密度函数为:
(1)确定常数 ;
(2)求
(3)求 ,这里 是由 这三条直线所围成的三角形区域.
解：(1)因为
由 ，得9a=1，故a=1/9.
(2)
(3)
3.5设二维随机向量 的概率密度函数为:
(1)求分布函数 ;
(2)求
解：(1)求分布函数 ;当 ，
求边缘概率密度 .
解，积分区域显然为三角形区域，当 时， ，因此 ；
其他情形，显然 所以，X的边缘分布密度为
同理，当 时， 因此
其他情形，显然 所以，Y的边缘分布密度为
3.10设二维随机向量 的概率密度函数为
(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度 .
解：(1)因为
所以c=6.
(2)因为，当 时，
解：因为 ，
要X和Y相互独立，则
即 ，得
由 ，得
即 ，得
3.16问习题3.8和习题3.9中的X与Y是否相互独立？
解：由习题3.8，二维随机向量 的概率密度函数为
X的边缘分布密度为 ，Y的边缘分布密度为
，显然有 ，X与Y相互独立.
由习题3.9,维随机向量 的概率密度函数为
,X的边缘分布密度为 ，Y的边缘分布密度为
一、第三章习题详解：
3.1设二维随机向量 的分布函数为:
求 .
解：因为 ，
，
所以
3.2盒中装有3个黑球, 2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.
解：因为X+Y= 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
且 ，
，
故(X,Y)的概率分布为
随机地取值,求Y的概率密度函数.
解：因为 ，
所以(X,Y)的联合密度为
于是
故Y的密度函数为
3.13设二维随机向量 的概率密度函数为
求条件概率密度 以及 .
解：因为，当 时，
又当 时，
所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为
在X=x的条件下Y的条件概率密度为
3.14问习题3.7中的X与Y是否相互独立？
的其他情形,显然有 =0.综合起来，有
此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当 时，积分区域要分成两个部分.
3.20设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为
求 的概率密度函数.
解：记 ,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,
的概率密度函数可以写为 ，于是有
所以，X的边缘分布为
X
1
3
P
0.75
0.25
因为
所以，Y的边缘分布为
Y
0
2
5
P
0.20
0.43
0.37
3.8设二维随机向量 的概率密度函数为
求边缘概率密度 .
解：因为，当 时， ；其他情形，显然 所以，X的边缘分布密度为
又因为，当 时，
其他情形，显然 所以，Y的边缘分布密度为
3.9设二维随机向量 的概率密度函数为
解:由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3
Y
0
2
5
P
0.75
0.25
P
0.20
0.43
0.37
0.75, ,而 ,显然
,从而X与Y不相互独立.
3.15设二维随机向量 的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
30.Βιβλιοθήκη 50.180.02
问 取何值时,X与Y相互独立?