一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 )
设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ⎰+++L
dy y x x dx y x xy )()(24233
2、(本小题5分)
设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分⎰⎰2
3),(1
0x x dy y x f dx 的积分次序。
3、(本小题5分)
设()f x 是以2π为周期的函数，当x ∈-⎛⎝ ⎤
⎦
⎥ππ232,时，()f x x =。
又设()S x 是()f x 的
以2π为周期的Fourier 级数之和函数。
试写出()S x 在
[]-ππ,内的表达式。
二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分)
设z=z(x,y)由方程x 2+y 2+z 2=ln(y z
)确定，求z z x y ,。
2、(本小题6分)
设z y xy x =++232
()，求z z x y ,。
3、(本小题6分)
设f x y (,)有连续偏导数，
u f e e x y
=(,)，求d u 。
利用极坐标计算二次积分
5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e
x
22的一个特解。
6、(本小题6分)
求幂级数n
n x n )32(11
-∑∞
=的收敛域。
7、(本小题6分)
求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x
y x dx y y 的通解。
三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法
线方程 。
2、(本小题6分)
试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。
四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)
求函数2
2333322y x y x z --+=的极值。
2、(本小题6分)
判别级数n n
n n cos 2
1
32π=∞∑的敛散性。
五、证明题 1、(本大题5分)
设空间闭区域Ω由曲面z =a 2－x 2－y 2平面z =0所围成，∑为Ω的表面外侧，V 是Ω 的
体
积
，
a
为
正
数。
试
证
明：
2、 ( 本 大 题5分 )
设p 是自然数，求证：
()()11
ln 21ln 2ln ln 122
p p p +=+++
21
211121881n n n p p -∞
=⎛⎫+ ⎪-++⎝⎭
∑
六、解答下列各题( 本 大 题7分 )
设Ω是由1≤x 2+y 2≤4，y ≥0，z ≤0以及2
2y x z +-≥所确
定的闭区域， 试计算⎰⎰⎰Ω
ydv
一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、解 0 2、(本小题5分) 原式=
f (x ,y )d x . 10
3、(本小题5分) 对()f x x x =-
<≤
,π
π
232
作周期为2π的延拓，()f x 在[]-ππ,内的表达式为
()f x x x x x x x =+-≤≤---<≤<≤⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪22200πππππ,,,,,,
(3分)
()f x 满足Fourier 级数收敛的充分条件。
(5分) 故
()S x x x x x x x x =+-≤<-=---
<≤<≤⎧
⎨
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪22
2
2
00πππ
ππ
π
π,,
,,
,,
,,
(10分)
二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分)
解：y z y x z y x F ln ln z ),,(222+-++= 2分
z
z F y y F x F z y x 12,12,2-='+
='=' 6分
2
2222,212yz y z
z y y z z xz x z -+=∂∂-=∂∂ （10分）
2、(本小题6分)
z xy x x =+2222ln （5分）
z y x y y =+3222 （10分）
3、(本小题6分)
d d d u f
e x
f e y x y =+12
（10分）
4、(本小题6分)
5、(本小题6分)
特征方程r r 2
210-+=的根为
r r 121==
设特解为
y x Ax Bx C e p x =++22() （5分）
代入方程得
y x e p x
=112
4
（10分）
6、 (本小题6分)
由于31)1(33lim lim 11=+=+∞→+∞→n n a a n n n n
n n ， 所以收敛半径3=R ， 5分 且当1-=x 时，级数收敛， 8分
5=x ，级数发散， …….9分
故收敛域是[)5,1-。
10分 7、(本小题6分)
()d ()d ()()y y x x y x
y y y y y x x y x y y
+++-=+=+-=-2240
2241423233∂∂∂∂ 故为全微分方程 （4分）
令
u x y y y x x y x
y
y x y (,)()d ()d (,)
(,)
=
+++-⎰
2242013
=++
-xy y x
y
2221 （8
分） 故通解为 xy y x
y
C ++=2
22
（10
分）
三、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 对应的切平面法向量
{}
n =942,, 5分
切平面方程
9142230()()()x y z -+-+-=
或94223x y z ++= 8分 法线方程
x y z -=-=-19243
2
10分
2、(本小题6分)
四、解答下列各题
1、（7分）解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0660
6622
y y z x x z y
x ，得驻点
)1,1(),0,1(),1,0(),0,0( 3分
2
xy
yy xx z z z D -=)12)(12(36--=y x 0
6)1,1(,
036)1,1(036)1,0(,036)0,1(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D
7分
点)0,1(),1,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=；
在点)1,1(处取极小值2)1,1(-=z 。
10分
2、（6分）
由于n n
n
n n
cos 2
322π
≤
（2分）
而级数n
n n 21
=∞
∑满足
lim lim n n n
n n n
u u n n →∞+→∞+=+=111
2212
（6分）
因此n n n 21=∞
∑收敛，所以级数n n n n cos 2
1
3
2π=∞∑收敛。
（10分）
五、解答下列各题 1、(本小题5分) 由高斯公式
2、( 本 大 题5分 )
()()1ln 21
ln 212ln 12ln +---+p p p
()()
1412ln 212
++=p p p ……2分 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=p p 441
1ln 212 ……4分
1
88111881
1ln
2122++-
+++
=p p p p
……6分
利用x x
-+11ln 在
0=x 点的幂级数展开式即得 ()()1ln 2
1
ln 212ln 12ln +++=+p p p
1
2211881
121-∞
=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+∑
n n p p n ……10分
六、解答下列各题( 本 大 题7分 )
解：215
sin sin 2
1
3
00210===⎰⎰⎰⎰⎰-dr r d dz r rdr d I r ππθθθθ。