3．分析法的定义 从 要证明的结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 ( 已知条、件 定、理 定、义 公等理)为止，这种证明方法 叫做分析法．
4．分析法的框图表示 得到一个明显
Q⇐P1 → P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 成立的条件
证明：要证
tan
Atan
B＞1，只需证csoins
Asin Acos
BB＞1，
∵A、B 均为锐角，∴cos A＞0，cos B＞0.
即证 sin Asin B＞cos Acos B，
即 cos Acos B－sin Asin B＜0，只需证 cos(A＋B)＜0.
∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A＋B＜180°，
[对点训练] 设 a，b∈(0，＋∞)，且 a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2. 证明：法一：(分析法) 要证 a3＋b3＞a2b＋ab2 成立， 即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立． 又因 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2＞ab 成立， 即需证 a2－2ab＋b2＞0 成立，即需证(a－b)2＞0 成立． 而依题设 a≠b，则(a－b)2＞0 显然成立． 由此命题得证．
分析法的应用
[例 2] 设 a＞b＞0，求证： a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)． [证明] 因为 a＞b＞0，所以 a2＞ab＞b2， 所以 ab－b2＞0. 要证 a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)， 只需证 a2－ab22－ －abab－b2＞ aa22－ ＋abab， 只需证 a2－b2－ ab－b2＜ a2＋ ab. 而 a2－b2＜ a2＋ ab＋ ab－b2显然成立． 所以 a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)成立．
【常考题型】
综合法的应用
[例 1] 已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2) ＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[证明] ∵a，b，c 是正数，∴b2＋c2≥2bc， ∴a(b2＋c2)≥2abc.① 同理，b(c2＋a2)≥2abc，② c(a2＋b2)≥2abc.③ ∵a，b，c 不全相等，
∴cos(A＋B)＜0，因此 tan Atan B＞1.
综合法和分析法的综合应用 [例 3] 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 为等差数列， 且 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [证明] 法一：(分析法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
[对点训练] 已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，求证：4a＋1b≥9. 证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴4a＋1b＝4aa＋b＋a＋b b＝4＋4ab＋ab＋1＝5＋4ab＋ab≥5＋2 4ab×ab＝5＋4＝9.当且仅当4ab＝ab，即 a＝2b 时“＝”成立.
[类题通法] 综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围： ①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件 的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结 论的题型． (2)分析法适用的范围： 分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式 子较复杂的问题．
只需证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 化简，得a＋c b＋b＋a c＝1， 即 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 所以只需证 c2＋a2＝b2＋ac. 因为△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列， 所以 B＝60°，所以 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝12， 即 a2＋c2－b2＝ac 成立． ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立．
[类题通法] 分析法的证明过程及书写形式
(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相 关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即 可．
(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个 明显成立的条件，所以结论成立．
[对点训练]
在锐角△ABC 中，求证：tan Atan B＞1.
法二：(综合法) 因为△ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列， 所以 B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2accos 60°. 所以 c2＋a2＝ac＋b2， 两边加 ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同时除以(a＋b)(b＋c)， 得a＋c b＋b＋a c＝1， 所以a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
综合法和分析法
【知识梳理】
1．综合法的定义 利用 已知条件 和某些数学 定义、 定理 、公理 等，经 过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立， 这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示 P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q (P 表示已知条件 、已有的 定义 、 定理 、 公理 等，Q 表 示所要 证明的结论 )
法二：(综合法) a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0 ⇔a2－ab＋b2＞ab. ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． ∴a3＋b3＞a2b＋ab2.
∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab 三式中不能同时 取到“＝”．
∴①②③式相加ห้องสมุดไป่ตู้ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[类题通法] 综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合 理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证 明过程．