综合法与分析法学习目标：1． 理解综合法和分析法的概念及区别2． 熟练的运用综合法分析法证题学习重难点:综合法和分析法的概念及区别自主学习：一：知识回顾1． 合情推理：前提为真，结论可能为真的推理。

它包括归纳推理与类比推理。

2． 演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理 二：课题探究1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发,根据已知的定义,公理,定理直接推证结论的真实性.2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.3. 分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.4.综合法的证明步骤用符号表示: 0P (已知) 1n P P ⇒⇒⇒L (结论)5.分析法的证明“若A 成立,则B 成立”的思路与步骤;要正(或为了证明)B 成立,只需证明1A 成立(1A 是B 成立的充分条件).要证1A 成立,只需证明2A 成立(2A 是1A 成立的充分条件).… ,要证k A 成立,只需证明A 成立(A 是k A 成立的充分条件)..Q A 成立, ∴B 成立.三: 例题解析例1: 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc证明: 因为b 2+c 2 ≥2bc,a>0 所以a(b 2+c 2)≥2abc.又因为c 2+b 2 ≥2bc,b>0所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.例2: 已知:a,b,c 三数成等比数列,且x,y 分别为a,b 和b,c 的等差中项.求证: 2a b x y+=. 证明: 依题意, :a,b,c 三数成等比数列, ∴a b b c =,∴a b a b b c =++, 又由题设: 2a b x +=,2b c y +=, 而22222()2a b a c b c b c x y a b b c b c b c b c++=+=+==+++++. 例3. 设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即证a 2-ab+b 2＞ab 成立。

(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，也就是要证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b ，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.例4 已知a,b 是正整数,求证:≥证明: 要证≥只需证≥成立，即证(a b +≥.即证a b +≥也就是要证a b +≥,即0≥.该式显然成立,≥巩固练习1. 下列正确命题的序号是________.① 若,a b R ∈,则2b a a b+≥;② 若,a b R ∈,则lg lg a b +≥③ 若x R ∈,则44||||||x x x x +=+≥④ 2y =的最小值是2. 2. 函数()ln(1)2x x f x e =+-( ) A.是偶函数,但不是奇函数 B.是奇函数,但不是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D. 既不是奇函数,又不是偶函数3. 若,x y R ∈,且2226x y +=,则222x y x ++的最大值是( )A 14B 15 C16 D174. 定义在(,)-∞+∞上的函数()y f x =在(,2)-∞上是增函数,且函数(2)y f x =+为偶函数,则f(-1), f(4), f(152)的大小关系是__________________________________.归纳反思：合作探究：1.求证:<.2.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x,都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A 3 B52 C 2 D 32例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++311。

答案：证明：要证c b a c b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b c b a b a c b a 。

即证1=+++cb a b ac 。

又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有ο60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

变式训练2：用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+a a a a 。

答案：证明：要证212122-+≥-+a a a a ，只需证212122++≥++aa a a 。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++a a a a 只需证)1(222211441222222a a a a a a a a +++++≥++++，只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+a a a a ，即证2122≥+a a ，它显然成立。

∴原不等式成立。

课题：直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（2）、例1．设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．证明：(用分析法思路书写)要证 a 3+b 3＞a 2b+ab 2成立，只需证(a+b)(a 2-ab+b 2)＞ab(a+b)成立，即需证a 2-ab+b 2＞ab 成立。

(∵a+b ＞0)只需证a 2-2ab+b 2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a ≠b ，有a-b ≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)∵a ≠b ，∴a-b ≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而Θ∴,0]43)21[()1(222>++-x x ∴.)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a Θ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a b a Θ .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4课后作业：第84页 1，2, 3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。