2.3薛定谔波动方程的应用
• 2.3.2无限深势阱（变为驻波方程）
与时间无关的波动方程为：
2 x 2m 2 E V x x 0 2 x
2.13
由于E有限，所以区域I和III中：
x =0
2 x 2mE 2 x 0 2 x
区域II与时间无关的波动方程为：
2.13
2.3薛定谔波动方程的应用
x A1cosKx+A2sinKx
边界条件： x 0 x a 0
x a 0 A2sinKa
a
2.28
2.30
2.31
2mE K 2
A1 0
热辐射是不连续的假设，即量子。)
Ｅ＝hv (普郎克常数h=6.625x10-34J-s) 1905年爱因斯坦提出光量子概念（光子）解释了光 电效应(光波也是由分立的粒子组成的假设，即光量子。)
光电子的最大动能：
Tmax
1 2 mv hv h 0 2
0
入射光子能量
功函数：电子逸出表面吸收的最小能量
2.2 薛定谔波动方程
/p-240652226806.html
1926年薛定谔结合了普朗克的量子化原理和德布罗意的波粒 二相性原理，提出了波动力学理论，来描述电子的运动。 2.2.1 波动方程
一维非相对论的薛定谔方程： 2 x, t 2 x, t V x x, t j 2.6 2 2m x t 其中，Ψ (x,t)为波函数，V(x)为与时间无关的势函数，m为 粒子的质量，j为虚常数。波函数Ψ(x,t)描述的是系统的状态. 分离变量： x, t x t
2.2.2 波函数的物理意义----几率波
整个波函数是与坐标有关（与时间无关）的函数和与时间有关的函数的乘积：
与时间性无关的概率 密度函数
即：
2.2 薛定谔波动方程
2.2.3 边界条件



x dx 1
2
(2.18)
归一化条件
要使能量E和势函数V(x)在任何位置均为有限值，则： 1、波函数Ψ(x)必须有限、单值和连续。 2、波函数Ψ(x)的一阶导数必须有限、单值和连续。
j / t
2.11
认为分离常数
η =E（粒子总能量）
正弦波的指数形式 角频率ω =η / 而
E h h / 2
薛定谔波动方 程可写为：
2 2
ω = E/
1 x V x E 2 2m x x
2.12
2.2 薛定谔波动方程
主要观点： （1）对于同一粒子不可能同时确定其坐标和动量。 若动量的不确定程度为△p，坐标的不确定程度为△x，则不确定关系为
=h/2π为修正普朗克常数。
（2）对于同一粒子不可能同时确定其能量和具有此能量的时间点。 若给定能量不确定程度为△E，而具有此能量的时间的不确定量为 △ t，则 不确定关系为： 注：当同时测量坐标与动量或同时测量能量与时间时，会出现一定程度的偏差。 无法确定一个电子的准确坐标，因而可以确定某个坐标位置可能发现电子的 概率。
2.1量子力学的基本原理
三个基本原理
能量量子化原理 波粒二相性原理 不确定原理（测不准原理）
2.1量子力学基本原理
2.1.1能量量子化原理
光电效应-----理论与实验的矛盾
2.1量子力学基本原理---能量量子化
光电效应理论与实验的矛盾 1900年普郎克提出热辐射量子化的概念(从加热表发出的
在单电子原子中，电子与质子间库仑力形成的势函数：
三维与时间无关的薛定谔波动方程：
在球坐标系中，波动方程还可写为：
n---主量子数，n=1,2,3,…
分离变量法求解：
L--角量子数，L=n-1,n-2,…，0
m—磁量子数，|m|=L,L-1,L-2,…,0 s—自旋量子数，s=1/2,-1/2
每一组量子数对应一个量子态的电子
/v6515991.htm
（１）主量子数n：决定体系能 量E或电子离核远近距离r。 n= 1，2，3，4，5，6，7…… 电子层数：K L M N O P Q （2）角量子数l:确定原子轨道的形
状并在多电子原子中和主量子数一起 决定电子的能级。 l = 0，1，2，3，4，5，6……n-1 相应的能级： s p d f g…… l = 0 球形对称 l = 1 原子轨道呈哑铃形分布 l = 2 其原子轨道呈花瓣形分布
（3）磁量子数m:决定原子轨 道在空间的取向的个数。 m=0，±1，±2…… ±L 共(2L+1) 个 （4）自旋量子数：只决定电子 运动状态与薛定谔方程无关。
s = ±1/2
2.4 原子波动理论的延伸
2.4.2 周期表
1.不同原子中电子数量不同，电子按电子态填充状态是一样的，
最终只是最外层出现未填满的状态;
m—磁量子数,|m|=L,L-1,L-2 ,…,0
s—自旋量子数，s=1/2,-1/2 核外电子排布原理一 ——最低能量原理
L=1,m=-1,s=1/2或-1/2 n=3,L=0,m=0,s=1/2或-1/2 ,2个状态,填2个电子 L=1 ,6个状态,填2个电子， 4个空状态
n l m s 四个量子数
P
h

h P
h为普郎克常数，P为粒子动量。
λ为物质波的德布罗意波长。
波粒二相性原理是利用波理论描述晶体中的电子的运动和状态的基础。
P23例2.2
电子的波动性实验
10
电磁波频谱
2.1量子力学的（三个）基本原理
2.1.3 不确定原理（测不准原理）
1927 年德国核物理学家沃纳-海森堡(Heisenberg)提出不确定原理
2.3薛定谔波动方程的应用
入射粒子能量小于势垒时也有一定概率穿过势垒 （与经典力学不同）
假设E<V0
2.3薛定谔波动方程的应用
2.3.3 阶跃势函数
穿透距离大约为两个硅晶格
2.3薛定谔波动方程的应用
2.3.4 矩形势垒 分别在三个区域中求解与时间无关的 薛定谔方程
假设E<V0
2.3薛定谔波动方程的应用
2.3薛定谔波动方程的应用
2.3.1 自由空间中的电子
在没有外力作用下的粒子，势函数V(x)为常量，且E>V(x)，设V(x) =0
说明自由空间中的粒子运动表现为行波。 沿方向+x运动的粒子： x, t A exp j kx t
2.23
h P
2.4 原子波动理论的延伸
2.4.1 单电子原子
电子的能量为：
1 13 .6 2 n
n为主量子数，式中能量为负表示电子被束缚在核的周围。n取值为整数， 说明总能量只能取分立值，能量的量子化。
，最小的能量状态，n=1,L=0,m=0,此时波函数：
氢原子能 级图
2.4 原子波动理论的延伸
径向概率密度函数：指电子出现在离核某个距离的概率。
2.3薛定谔波动方程的应用
能量量子化
2 n2 2 E En , 2 2ma n=1,2,3, (2.37)
波函数:
x 2 a sin Kx
(2.38)
n K a
粒子的能量是不连续的，其能量是各个分立
的能量确定值，称为能级，其值由主量子数n决定。
例2.3
K为波数=2π/λ, λ为波长。
h 2mE
2.3薛定谔波动方程的应用
是一个与坐标无关的常数，说明自由粒子在空间任意位置出现的概率相等。
行波与驻波： 形象的说就是一个行走一个停留（当然不是真正的停留） 行 波：就是波从波源向外传播； 驻 波：波在一个空间中来回反射，由于来回的距离等于1/4波长的奇数倍，于是反射 回来的波与后面传来的波发生干涉，形成稳定的干涉场，各处的振幅稳定不变。振幅 为零的地方叫波节，振幅最大的地方叫波腹。如果发生在一根绳子上我们就会看到一 个稳定的象莲藕一样的图像，似乎波"停止“了传播，所以叫驻波（驻留）。
2.原子的特性（化学活泼程度）取决于未填满的那一层，也就 是最外层的价电子数； 3.内层电子全部填满，所以是稳定的。
本章小结
2.5 小 结
• 量子力学的基本原理 能量量子化、波粒二象性、不确定原理 • 薛定谔波动方程——概率密度 • 束缚态粒子的能量是量子化的
2.4.2 元素周期表
• 根据电子自旋和泡利不相容原理：n l m s 四个量子数可以 推出元素周期表（框架） (每层可以容纳2n2个电子)
2.4 原子波动理论的延伸
2.4.2 周期表
电子自旋:电子具有量子化的本征角动量，它的值为两个可能值中的 一个，由量子数s确定，s=1/2或-1/2.
泡利不相容原理:在任意系统中，不可能有两个电子处于同一个量子 态，对于原子，不可能有两个电子具有相同的量子数组.
2.3薛定谔波动方程的应用
• 无限深势阱（前４级能量）
随着能量的增加，在任意 给定坐标值处发现粒子的概 率会渐趋一致
2.3薛定谔波动方程的应用
2.3.3 阶跃势函数
假设E<V0
定义反射系数：R=反射流/入射流。 在Ⅰ区域，E<V0的粒子流入射到势垒上将全部反射回来； 但E<V0时，区域Ⅱ中找到粒子的概率不为零； 在Ⅱ区由于 ≠0,说明入射粒子有一定的概率会穿过势垒到达区域Ⅱ。
能量E
n K 当Ka=nπ时成立，且n为正整数，称为量子数。 a
归一化边界条件:
2 2 A2 2 a A sin 0 2 Kxdx 1 2.33 波的表达式: x 2 a sin n x n=1,2,3, （驻波） a