参考书：《分形算法与程序设计》
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• 1) 选择指数α、迭代次数L、收敛值M； 2) 选择一象素点(x,y)； 3) 根据所希望的分形形式选择C和Z(即生 成C平面分形，还是Z平面分形)； 4) 设置迭代计数i，初值为0； α 5) 用公式Z=Z +C计算Z的新值； • 6) 递增迭代次数i，即i=i+1； 7) 重复步骤5、6，一直到终结条件(i＜L 或｜Z｜＜M)得到满足；
参考书：《分形算法与程序设计》 6
Julia集的逃逸时间算法
参考书：《分形算法与程序设计》
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Julia集的逃逸时间算法
算法：Julia 标题：Julia集的逃逸时间算法 参数：K（逃逸时间） m（逃逸半径） Mx,My（绘图范围） xs,xl,ys,yl（窗口范围） p,q（复平面上C的坐标） 变量：x0,y0（坐标变量） r（膜变量） 函数：SetP (x,y,color) （画点函数） BEGIN //初始化 K=100 m=500 Mx=800 My=600 xs=-1.5 xl=1.5 ys=-1.5 yl=1.5 p=0.23 q=0.043
基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
nx=2*x/3+(x*x-y*y)/fm ny=2*y/3-2*x*y/fm x=nx y=ny ENDFOR Loop ENDFOR ENDFOR END
参考书：《分形算法与程序设计》
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影响复迭代分形图的若干 因素分析
• Logistic方程的变形Z＝Z2+C对应着两类著名的 分形集-Mandelbrot集(C平面分形)和Julia集(Z平 面分到复迭代变换Z=Z +C ，其对应的分形 图也分为两种情况：C平面分形和Z平面分形。 这是两类不同的分形图，而它们又是有联系的。 生成这两类分形图的一个通用过程如下：
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Mandelbrot集的逃逸时间算法
x0=0 y0=0 Loop1: xk=x0*x0-y0*y0+p0 yk=2*x0*y0+q0 k=k+1 r=xk*xk+yk*yk x0=xk y0=yk IF r>m THEN H=k GOTO Loop2 ENDIF IF r<=m AND k<K THEN GOTO Loop1 ENDIF Loop2: SetP(np,nq,H) ENDFOR ENDFOR END
• 复平面函数的迭代算法及作图
参考书：《分形算法与程序设计》
1
复变函数的迭代
考虑 Zk+1=Zk2+c
给定复数初值Z0,c ，得到无穷复数序列{Zk}
Julia集：固定c J ={Z0序列{Zk}有界} Mandelbrot集：固定Z0
MZ＝{c 序列{Zk}有界}
若Zk= xk+ iyk , c = p+iq xk＋1＝xk2－yk2＋p yk＋1＝2xkyk ＋q
参考书：《分形算法与程序设计》 14
Newton分形
参考书：《分形算法与程序设计》
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牛顿迭代法作图
• 对于复平面上面的任一点c=a+b*i，i为虚数单 位，我们都可以得到一个复平面上的二次函数 f(z)=z2+c，z为复变量。 • 用这个f(z)进行迭代，迭代初值为0，迭代次数 为无穷次，如果最终的迭代所得到的值是一个 有限值，那么点c就属于是Mandelbrot集,这些点 c称为收敛点；若不能得到有限值，则点c不属 于Mandelbrot集，称为发散点。
参考书：《分形算法与程序设计》
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• • • • • • •
作图步凑： 1) 选择参数a or c、迭代次数L、收敛值M； 2) 选择象素点(x,y)； 3) 设置迭代计数i，初值为0； a 4) 用公式Z=Z +C计算Z的新值； 5) 递增迭代次数i，即i=i+1； 6) 重复步骤5、6，一直到终结条件(i＜L 或｜Z｜＜M)得到满足； • 7) 在屏幕上显示此象素点(x,y)；
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基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
BEGIN fnm(x,y)=x*x+y*y 标题： Julia集的牛顿迭代 FOR i=-150 TO 150 逃逸时间算法 FOR j=-150 TO 150 参数：N（迭代次数） x=i/75 r（距离小量） y=i/75 Mx,My（绘图范围） FOR k=1 TO n xs,xl,ys,yl（窗口范围） IF i=0 AND j=0 THEN p,q（复平面上C的坐标） GOTO Loop 变量：x0,y0（坐标变量） ENDIF r（膜变量） IF fnm(x-1,y)<r THEN 函数：SetP (x,y,color) （画点函数） SetP (i,j) GOTO Loop ENDIF fm=3*fnm(x,y)*fnm(x,y) 21 参考书：《分形算法与程序设计》 算法：Julia_Newton
2 参考书：《分形算法与程序设计》
逃逸时间算法的基本思想
F(z)=z2+c
当c=0时，由于z是复数，即z=x+yi，则有 z2=z×z=(x+yi) ×(x+yi)=x2+y2i2+2xyi=(x2-y2)+(2xy)i
设复数z=x+yi的绝对值，即
|z|= SQR(x2+y2) |F(z0)|=|x02-y02+2x0y0i|
若|z0|>1, z是平面上的单位圆。
• （1） 当初值︱z︱＜1 时，F(z)→0； • （2） 当初值︱z︱＞1 时, F(z)→∞； • 结论：实轴上有两个不动点，即0和∞， 称为“平庸吸引子”。 • （3） 当初值︱z︱= 1 时，F(z)在圆周 ∣Z∣=1上变化，呈现出不稳定的性态。
参考书：《分形算法与程序设计》
=SQR((x02-y02)2+(2x0y0)2)
=SQR(x04+y04-2x02y02+4x02y02) =SQR((x02+y02)2)
=|z0|2
若0<|z0|<1, |F(z0)|<|z0|，对于每一次迭代z趋向0，即z向0收敛。 若|z0|>1, 经过迭代z会趋向无穷， z向无穷逃逸。
参考书：《分形算法与程序设计》 3
参考书：《分形算法与程序设计》 19
基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法
牛顿迭代法求根公式： zn+1=zn-f(zn)/f’(zn) 其中，f’(zn)是f(zn)的导数。 考虑f(z)=z3-1=0的情况,那么相应的牛顿 变换是 f(z)=(2z3+1)/3z2
则z的三个根分别是 w1=1,w2=ei2π/3,w3=ei4π/3，三个根的吸引 域A(w1)，A(w2)，A(w3)的交界便是牛顿 函数的Julia集。经过迭代，在A(wi)上的 点都会被吸引到点wi上。设一个较大的 迭代次数N，以及一个距离小量r，当迭 代次数达到N，其与根点的距离小于r的 被认为是收敛到某根上了，否则被认为 是逃逸了。 参考书：《分形算法与程序设计》
参考书：《分形算法与程序设计》 16
•
不用0作为初始迭代点，而用复平面上 面的其它任意一点作为初始迭代点，再 根据这些点的最终迭代结果给每个初始 迭代点着色，我们就可以得到Julia集。
参考书：《分形算法与程序设计》
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• 具体地说，Mandelbrot记录的是整个区域 上的c值情况，而Julia集是取一固定的c 值后，观察复平面上每一点(x，y)在迭代 中的表现，并把结果记录下来。
参考书：《分形算法与程序设计》
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Mandelbrot集的逃逸时间算法
BEGIN pl=0.9 标题： Mandelbrot集的逃逸时间算法 ps=2.3 参数：K（逃逸时间） ql=1.2 m（逃逸半径） qs=-1.2 Mx,My（绘图范围） K=100 xs,xl,ys,yl（窗口范围） m=500 p,q（复平面上C的坐标） Mx=800 变量：x0,y0（坐标变量） My=600 r（膜变量） p=(pl-ps)/Mx 函数：SetP (x,y,color) （画点函数） q=(ql-qs)/My FOR np=0 TO Mx FOR nq=0 TO My p0=ps+np*p q0=qs+nq*q 参考书：《分形算法与程序设计》 k=0 算法：Mandelbrot
参考书：《分形算法与程序设计》
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• 8) 在屏幕上显示此象素点(x,y)； 9) 重复步骤2～8，对所希望的所有象素 点进行处理。 • 分析上述对应于复迭代变换Z=Zα+C的分 形图生成过程，我们发现，参数C、指数 α、迭代次数L、收敛值M的取值对最后 生成的图形都是有影响的。
参考书：《分形算法与程序设计》
参考书：《分形算法与程序设计》 27
• （2）C≠0 如图1所示，不同的参数C，对应着 形态各异的分形图象。而对于确定的参 数C，其对应分形图的局部放大图与整体 图像极其相似，因而具有严格的自似性。
• 不同参数C对应的Z平面分形图及其放大 图，如下：
参考书：《分形算法与程序设计》
参考书：《分形算法与程序设计》
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• （1）.定义一个半径充分大的圆 确定以W为中心，R为半径的圆，R为正 整数且足够大，使圆包含 W，再定义一 个发散区域： V={(x,y)∈R2;(x2+y2)1/2>R 当轨道进入V区域，轨道发散。 • （ 2）. 确定最大迭代次数 • （ 3）. 用不同的颜色绘制逃逸和不逃逸 的点，也可以在逃逸的点中用确定该点 是逃逸点的迭代数来确定绘制的颜色， 这样可以观察到点逃逸的快慢。
参考书：《分形算法与程序设计》
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Mandelbrot集
参考书：《分形算法与程序设计》
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牛顿分形