导数与函数的单调性、极值复习目标：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)。

【梳理自测】一、函数的导数与单调性1．(教材改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)3．(教材改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．4．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】1.A 2.A 3.(－1，11) 4.[－3，＋∞)◆以上题目主要考查了以下内容：在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．二、函数的导数与极值1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3C．4 D．52．(教材改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【答案】1.D 2.2◆以上题目主要考查了以下内容：(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．【指点迷津】1．一个方程求函数y ＝f(x)的极值点，先解方程f′(x)＝0的根．2．两个条件(1)f′(x)＞0在(a ，b)上成立是f(x)在(a ，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x 0)＝0是函数f(x)在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．3．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x 的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．考向一 利用导数研究函数的单调性例一： (2014·湖北省八校联考)已知函数f(x)＝(x ＋a)2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a≠0.(1)若b ＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当b ＝47a 2时，讨论f(x)的单调性． 【审题视点】 (1)当x ＞1时，f′(x)≥0恒成立，求a 的范围．(2)讨论a ＞0和a ＜0时，f(x)的单调性．【典例精讲】 (1)∵b ＝1，∴f(x)＝(x ＋a)2－7ln x ＋1，∴f′(x)＝2x ＋2a －7x. ∵当x ＞1时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x ＋2a －7x≥0在x ＞1时恒成立． 即a≥72x－x 在x ＞1时恒成立． ∵当x ＞1时，y ＝72x －x 是减函数， ∴当x ＞1时，y ＝72x －x ＜52，∴a≥52. (2)∵b ＝47a 2， ∴f(x)＝(x ＋a)2－4a 2ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)．∴f′(x)＝2x 2＋2ax －4a 2x ＝2（x －a ）（x ＋2a ）x. 当a ＞0时，f′(x)＞0，得x ＞a 或x ＜－2a ，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a ，＋∞)；当a ＜0时，f′(x)＞0，得x ＞－2a 或x ＜a ，故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a ，＋∞)．【类题通法】 (1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0([或f′(x)≤0]，x ∈(a ，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．1．(2014·山东名校联考)已知函数f(x)＝3x a－2x 2＋ln x ，其中a 为常数且a≠0. (1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1x－4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－（4x ＋1）（x －1）x(x ＞0)， 当x ∈(0，1)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由题易得f′(x)＝3a －4x ＋1x(x ＞0)， 因为函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，所以在区间[1，2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在x ∈[1，2]时恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x (1≤x≤2)，即3a ≥(4x －1x )max 或3a ≤(4x －1x)min ，其中1≤x≤2. 令h(x)＝4x －1x(1≤x≤2)，易知函数h(x)在[1，2]上单调递增，故h(1)≤h(x)≤h(2)． 所以3a ≥h(2)或3a ≤h(1)，即3a ≥4×2－12＝152，3a ≤4×1－11＝3， 解得a ＜0或0＜a ≤25或a≥1.故a 的取值范围为 (－∞，0)∪(0，25)∪[1，＋∞)． 考向二 利用导数求函数的极值例二： (2012·高考江苏卷)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．【审题视点】 1和－1为f(x)的极值点，则有f′(1)＝0，f′(－1)＝0求a 和b ，再根据极值的概念求g(x)的极值点．【典例精讲】 (1)由题设知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，且f′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0.解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x 3－3x.因为f(x)＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g′(x)＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x ＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.【类题通法】 利用导数研究函数的极值的一般流程：2．(2014·广东省惠州市高三调研)已知函数f(x)＝x 3－3ax(a ∈R)．(1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若对任意的m ∈R ，直线x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0即y ＝－x －m ，依题意，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解，∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0，∴a ＜13. 用导数研究函数单调性和极值例三 (2014·烟台四校达标检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫m ＋1m ln x ＋1x－x ，其中常数m ＞0. (1)当m ＝2时，求函数f (x )的极大值；(2)讨论函数f (x )在区间(0，1)上的单调性．【审题视点】 讨论f ′(x )＝0的根与区间(0，1)的关系．【思维流程】求定义域，并求导函数f ′(x )．确定极值点．确定极大值．求导函数f ′(x )＝0的根．分三种情况讨论m 与区间(0，1)的关系，从而确定f ′(x )的正负．确定单调性．【规范解答】 (1)当m ＝2时，f (x )＝52ln x ＋1x－x ， ∵f ′(x )＝52x －1x 2－1＝－（x －2）（2x －1）2x 2(x ＞0).2分∴当0＜x ＜12或x ＞2时，f ′(x )＜0；当12＜x ＜2时，f ′(x )＞0. ∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和区间(2，＋∞)上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，2上单调递增，4分∴函数f (x )的极大值为f (2)＝52ln 2－32.6分(2)由题意知，f ′(x )＝m ＋1m x －1x 2－1＝ －x 2－⎝⎛⎭⎫m ＋1m x ＋1x 2＝－（x －m ）⎝⎛⎭⎫x －1m x 2(x ＞0，m ＞0).8分①当0＜m ＜1时，1m＞1，故当x ∈(0，m )时，f ′(x )＜0，当x ∈(m ，1)时，f ′(x )＞0， 此时函数f (x )在区间(0，m )上单调递减，在区间(m ，1)上单调递增.10分②当m ＝1时，1m ＝1，故当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－（x －1）2x 2＜0恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，1)上单调递减.11分③当m ＞1时，0＜1m＜1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，1时，f ′(x )＞0， 此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1m ，1上单调递增.12分【规范建议】 ①在第一步中，不能忽视定义域(x ＞0)否则单调区间求错．②在第五步讨论中，不可丢掉m ＝1的情况．拓展延伸：1．(2013·高考福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点2．函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )【答案】D3．(2012·高考重庆卷)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )4．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．。