指数函数
概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：
规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y 轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a
＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：
1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).
因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2
1x,y=log 10
1x 的草图
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数n
y x
=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和
图像分类记忆的方法．熟练掌握n
y x
=，当
11
2,1,,,3
23
n=±±±的图像和性质，列
表如下．
从中可以归纳出以下结论：
①它们都过点()
1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
②
11
,,1,2,3
32
a=时，幂函数图像过原点且在[)
0,+∞上是增函数．
③
1
,1,2
2
a=---时，幂函数图像不过原点且在()
0,+∞上是减函数．
④任何两个幂函数最多有三个公共点．
奇函数偶函数非奇非偶函数
定义域R R R
奇偶性奇奇奇非奇非偶奇
在第Ⅰ象
限的增减性在第Ⅰ象限
单调递增
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象限单
调递增
在第Ⅰ象
限单调递
增
在第Ⅰ象限
单调递减
幂函数y xα
=（x∈R，α是常数）的图像在第一
象限的分布规律是：
①所有幂函数y xα
=（x∈R，α是常数）的图像
都过点)1,1(；
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
②当
21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过原点)0,0(；
③当1=α时，y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；
④当3,2=α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）
⑤当
21
=
α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）
⑥当1-=α时，y x α
=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）
当0>α时，幂函数y x α
=有下列性质：
（1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
当0<α时，幂函数y x α
=有下列性质：
（1）图象都通过点)1,1(；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，
α
越大，图象下落的速度越快。
无论α取任何实数，幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似符
号“√”而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，a
b
x b ax 2≥+
（当
且仅当x b ax =即a b x =时取等号），由此可得函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +
）的性质:
当a b x =
时，函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +
）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。
函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0）在区间（0，a b ）上是减函
数，在区间（
a
b
，+∞）上是增函数。
因为函数x b
ax y +=（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数x
b ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质：
当a b x -
=时，函数x
b
ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。
函数x
b
ax y +
=（a>0,b>0）在区间（-∞，-a b ）上是增函数，在区间（-
a
b
，0）上是减函 奇函数和偶函数
（1）如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．
说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x) 是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用
这个方法判断此函数较为方便：f(x)
(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，
当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．
例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．
解设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0
则有－x1＞－x2＞0，
∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴f(－x1)＞f(－x2)
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，
∴=－f(x1)＞－f(x2)
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．
时，f(x)的解析式
解∵x＜0，∴－x＞0．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道，如果对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真．由此可拓广如下：
如果存在常数a，b，对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x，a+x，b-x 仍在
(a+b-x，f(x))，而f(a＋b－x)＝f[a＋(b－x)]＝f[b－(b－x)]＝
f(x)，对称点P'(a+b-x，
称；。