2.取 2.取x0 = 0, 0 ξ 在 与x之间,令 = θx (0 < θ < 1) ξ
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
四、麦克劳林(Maclaurin)公式
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x + L+ x 2! n! f (n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)!
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0P ( x0 ) = f
(k ) n
1
(k )
( x0 ) k = 1,2,L, n
0
a0 = f ( x0 ),
n
1⋅ a = f ′( x ),
( n) 0
2!⋅a2 = f ′′( x0 )
L L, n!⋅a = f ( x ) 1 (k ) (k = 0,1,2,L, n) 得 ak = f ( x0 ) k!
x2
1 例4 求 f ( x, y) = 1+ x 麦克劳林展式
解
1 f ( x) = 1+ x
f ( k ) (0) ( −1) k k ! ak = = = ( −1) k k! k!
( −1) n +1 ( n + 1)! ( n + 1) f ( x) = n+ 2 (1 + x )
(0) = ( −1) n! 1 2 3 n n L ∴ = 1− x + x − x +L +(−1) x + Rn(x) 1+ x f
1 1 取x = 1, e ≈ 1 + 1 + +L+ 2! n!
其误差
e 3 Rn < . < (n + 1)! (n + 1)!
例2 解
求 f ( x) = sin x 的
n 阶麦克劳林公式. 阶麦克劳林公式.
f
( n)
f ( x ) = sin x
f ( 0) = 0 f ′′′(0) = −1 f
差 Rn( x) = f ( x) − P ( x) 误 n
二、Pn和Rn的确定
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x0 点相交 若在
y
y = f (x)
Pn ( x0 ) = f ( x0 )
2.若有相同的切线 若有相同的切线
′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 )
3.若弯曲方向相同 若弯曲方向相同
( −1) n Rn ( x ) = x n+1 ( n + 1)(1 + θ x ) n +1
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x2n+1 sin x = x − + −L+ (−1)n + o( x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)!
2n x2 x4 x6 n x cos x = 1 − + − + L+ (−1) + o( x2n ) 2! 4! 6! (2n)!
n n+1
2
3
n+1
x2 x4 x6 x2n n cos x = 1− + − +L+ (−1) + R2n+1 2! 4! 6! (2n)! π cos(θ x + ( 2n + 1) ) 2 x 2 n+ 2 R2 n +1 ( x ) = ( 2n + 2)!
x2 x3 xn ln(1+ x) = x − + −L+ (−1)n−1 + Rn( x) 2 3 n
x x x ln(1 + x) = x − + −L+ (−1) + o( x ) 2 3 n+1 1 = 1 + x + x2 + L+ xn + o( xn ) 1− x m(m − 1) 2 m (1 + x) = 1 + mx + x +L 2! m(m − 1)L m − n + 1) n ( x + o( xn ) + n!
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与 之 ). 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
x2 x4 x6 x2n n cos x = 1− + − +L+ (−1) + R2n+1 2! 4! 6! (2n)! π cos(θ x + ( 2n + 1) ) 2 x 2 n+ 2 R2 n +1 ( x ) = ( 2n + 2)!
x2 x3 xn ln(1+ x) = x − + −L+ (−1)n−1 + Rn( x) 2 3 n
点的区间上满足柯西中值定理的条件, 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
′ ′ ′ Rn(ξ1 ) Rn(ξ1 ) − Rn( x0 ) n = (n + 1)(ξ1 − x0 ) (n + 1)(ξ1 − x0 )n − 0 ′′ Rn(ξ2 ) (ξ2在x0与ξ1之间 ) = n−1 n(n + 1)(ξ2 − x0 )
n
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) M n+1 Rn ( x) = ( x − x0 ) ( x − x0 )n+1 ≤ (n + 1)! (n + 1)! Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
注意到 f
x
( n+1)
(θx) = eθ
x
代入公式,得 代入公式 得
x n+1
x x eθ e = 1 + x + +L+ + x n! (n + 1)! 2!
2 n
(0 < θ < 1).
x2 xn 由公式可知 e x ≈ 1 + x + +L+ 2! n! 估计误差 (设 x > 0)
eθx ex Rn ( x) = xn+1 (0 < θ < 1). < (n + 1)! (n + 1)!
f ( x) ≈ f ( x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) +α ]
x 2.设f (x)在 0 处可 ,则 导, 2.设 导 有
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +L+ x 2! n! + O( xn )
五、简单的应用
例1
阶麦克劳林公式. 求 f ( x) = e 的n 阶麦克劳林公式.
x
Q f ′( x) = f ′′( x) = L= f (n) ( x) = e x , 解 ∴ f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = L= f (n) (0) = 1
第三节
泰勒中值定理
问题的提出 Pn和Rn的确定 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor) 麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin) 简单的应用 小结
一、问题的提出
1.设 续, 1.设 f (x)在x0处连 ,则 续 有
( x ) = sin( x + n ) 2
π
f ′( 0 ) = 1
(4)
f ′′(0) = 0
( 0) = 0
代入Taylor公式得： 公式得： 代入 公式得
x3 x5 x 2 n −1 sin x = x − + − L + ( −1) n + R2 n 3! 5! ( 2n − 1)!
2n + 1 sin(θ x + π) 2 R2 n ( x ) = x 2 n+1 ( 2n + 1)!
差 误 R( x) = f ( x) − P( x) 可 计 估
设 数 f (x)在 有x0的 区 (a, b) 内 有 到 函 含 开 间 具 直
(n + 1)阶 数 P(x) 为 项 函 导 , 多 式 数
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + L+ an( x − x0 )n n
如, 例 , 当x 很 时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如 小 ,
x
（如下图） 如下图）