m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x) k
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
o(x4 x4
)
7 12
第四节
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) 若在f公(式x)成立的f区(间x0上)
f (0)x f (x0 )(x
f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (有x误差fx估(0nn计))!(2式0)
xn
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0与 x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
o((x x0 )n )
( 在 x0 与 x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
ex , ln(1 x), sin x , cos x , (1 x)
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数
例如 sin x
2. 利用泰勒公式求极限
例2. 求 解: 用泰勒公式将分子展到
用洛必达法则 不方便 !
x2 项, 由于
3x 4 2
1
3 4
x
2
1
1 2
(
3 4
x)
1 2!
1 2
(12
1)
(
3 4
x)2
o(
x2
)
2
3 4
x
1 4
9 16
x2
o(x2
)4 Leabharlann 3x23 4x
1 4
9 16
x2
o( x2 )
原式 (xlim(01n)112)(!196
nx)2(1o(
x2
xx)2)n1x3n921
(0 1)
3. 利用泰勒公式证明不等式
例3. 证明
证:
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1 (1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
1
x
x2
1
(1
x)
5 2
x3
(0 1)
f
(k ) ( x)
(1)k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1,2, )
ln(1 x) x x2 x3
23
(1)n1
xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
pn (x)
pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
(x0 ),
, an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
( 在 x0 与 x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 ,
则当
时, 有
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
例如
思考与练习
计算
解: e x2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
e x2 2 cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x4
可见
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2
( 在 x0与 x
之间)
误差
( 在 x0 与 x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
)
(
x
x0
)
2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
①
其中
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n+1 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒
注意到
Rn (x) o[(x x0 )n ]
泰勒公式
目的－用多项式近似表示函数.
应用
一、泰勒公式的建立
理论分析 近似计算
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ) y
y f (x)
特点: 需要解决的问题
x 的一次多项式
f (x0 ) f (x0 )
(1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1) ( n 1)
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1) (
(n 1) !
n) (1
x) n1 xn1
(0
1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
已知 因此可得
2 8 16
( 11)x (1nx) (1x2 x)(xn10x)n1 + (0 1)
(n 1) ! 2 8
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f
(n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) ,
则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
!
R2
m
(
x)
其中
R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1)π) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
类似可得
cos x
1 x2 x4 2! 4!
(1)m
x2m (2m)
!
R2
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
(1 在 x0 与 x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0