甘肃 兰州
第一天 8月17日 上午8:00-12:00
每题15分
1．是否存在整数,,a b c ，使得2222,2,2a bc ab c abc +++都是完全平方数？
2．设整数2n ≥，且实数[]12,,,0,1n x x x ∈ ，求证：11
13n
k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑． 3．在ABC ∆中，点2B 是AC 边上旁切圆圆心1B 关于AC 中点的对称点，点2C 是AB 边上旁切圆圆心1C 关于AB 中点的对称点，BC 边上旁切圆切BC 边于点D ．求证：22AD B C ⊥．（AC 边上旁切圆指与BA BC 、的延长线及线段AC 均相切的圆．）
4．把(2)n n ≥枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时全部硬币正面朝上，
试问：是否存在一种方案，使得可以进行123n +⎢⎥⎢⎥⎣⎦
次操作？（其中x ⎢⎥⎣⎦表示不大于x 的最大整数．）
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第二天 8月17日 上午8:00-12:00
每题15分
5．若非空集合{}1,2,3,,A n ⊆ 满足min x A
A x ∈≤，则称A 为n 级好集合．记n a 为n 级好集合的个数（其中A 表示集合A 的元素个数，min x A x ∈表示集合A 的最小元素）．求证：对一切正整数n ，都有211n n n a a a ++=++．
6．如图，,PA PB 为圆O 的切线，点C 在劣弧 AB 上（不含点,A B ）．过点C 作PC 的垂线l ，与AOC ∠的平分线交于点D ，与BOC ∠的平分线交于点E ．求证：CD CE =．
7．将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1,2,,n ．求所有的整数4n ≥，使得可以用3n -条在内部不交的对角线将这个n 边形分成2n -个三角形区域，并且在这3n -条对角线上各标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等．
8．求所有的正整数a ，使得对任意正整数5n ≥，都有2(2)|()n n a n a n --．。