2014年中国西部数学邀请赛
重庆
第一天 2014年8月16日 上午8:00—12:00
1．设,x y 是正实数，求11x y x y y x --++
+的最小值．
2．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB 上两点，P ，Q 分别是OAC △与OBD △的外心．证明：CP CQ DP DQ ⋅=⋅．
3．设123,,,A A A ⋅⋅⋅是一列集合，满足：对任意正整数j ，只有有限多个正整数i ，使得i j A A ⊆．证明：存在一列正整数123,,,a a a ⋅⋅⋅，使得对任意正整数i ，j ，|i j a a 当且仅当i j A A ⊆．
4．给定正整数n ，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅中每一项都是“龙头”或者“龙尾”，求
1n
i i a =∑的最小值．
第二天 2014年8月17日 上午8:00—12:00
5．给定正整数m ，证明：存在正整数0n ，使得对所有正整数0n n >十进制表示的小数点后第一位数字都相同．
6．给定整数2n ≥，设实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足：
（1）10n i i x
==∑；
（2）1i x ≤，1,2,,i n =⋅⋅⋅．求111
min i i i n x x +--≤≤的最大值．
7．平面上，点O 是正三角形ABC 的中心，点P ，Q 满足2OQ PO =．证明：
PA PB PC QA QB QC ++++≤．
8．给定实数q 满足12q <<，定义数列{}n x 如下：设正整数n 的二进制表示为
2012222k k n a a a a =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，{}0,1i a ∈，0,1,,i k =⋅⋅⋅，
令2012k n k x a a q a q a q =+++⋅⋅⋅+．
证明：对任意正整数n ，存在正整数m 使得1n m n x x x <+≤．。