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第十三章
§13–1
动量矩定理
动量矩
§13–2
§13–3 §13–4 §13–5
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 · 刚体平面运动微分方程
习题课
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质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢） 质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
动量矩定理
d (mv ) F dt
两边叉乘矢径 r , 有 r 左边可写成
d (mv ) r F dt
故：
d (mv ) d r (r mv ) dr mv dt dt dt dr 而 mv v mv 0 , r F mO ( F ) , dt d d (r mv ) r F , [mO (mv )]mO ( F ) dt dt
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刚体动量矩计算： 1．平动刚体 LO mO (mvC ) rC mvC
(ri mi vi mi ri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。 2．定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) mi ri 2 I z
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO ( F )0 (mz ( F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
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由动量矩定理 d mO (mv ) mO ( F ) dt g 即 d (ml2 ) mglsin , sin 0 dt l g 2 2 0 n 微幅摆动时，sin , 并令 n ，则
取轮B连同物体C为研究对象
(2)
补充运动学条件 r22 v, r2 2 a r11
化简(2) 得：P2 2 P3 a T ' P3
2g P M 化简(1) 得： 1 a 1 T 2g r1
M 1 / r1 P3 a 2 g P1 P2 2 P3
l
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 mO ( F ) mO (T ) mO (mg ) mglsin l ml2 v l , OM 。 mO (mv ) ml 运动分析：
1P 2 r2 P 将I O r 代入 , 得 LO ( PA PB ) 2g g 2 2 d r P 由动量矩定理： [ ( PA PB )] ( PA PB ) r dt g 2
( e)
PA PB d g dt r PA PB P/2
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§13-3
刚体定轴转动微分方程
d (e) ( I z ) M z dt
对于一个定轴转动刚体 Lz I z
代入质点系动量矩定理，有
d 2 或 I z 2 M z (e) dt
I z M z
( e)
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 dt
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 kg· ｍ2/s。 二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO mO (mi vi ) ri mi vi
质系对轴z 动量矩：
Lz mz (mi vi )LO z
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二．质点系的动量矩定理 d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F ) O i O i 对质点Mi ： dt O i i 对质点系，有
(i 1,2,3,,n)
(i 1,2,3,,n)
d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F dt O i i O i 量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
( e)
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求 。 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO vr vr I O g g
大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
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二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 I z ； 对z' 轴的转动惯量 I z ' 。 解： I z
求系统对O轴的动量矩。 解： LO LOA LOB LOC
I11 ( I 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2 v3 v2 R22 1 R11 2
I1 I2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 v3 R2 R2
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§13-2
一．质点的动量矩定理
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3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
I z ' I zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
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证明：设质量为m的刚体，质心为C， O ' z '//Cz
I zC mi ri mi ( xi yi )
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
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特殊情况：
若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
若M z (e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。
解： I
O I O杆 I O盘
1 1 m1l 2 m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
§13-1
动量矩
一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：mO (mv ) r mv 矢量 质点对轴 z 的动量矩： m (mv ) m (mv ) 代数量
z O xy
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mO (mv ) 2OAB
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
2 2 2
I z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ', yi ' yi d I z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2
2
mi m , mi yi myC 0 I z ' I zC md
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
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上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒
l 2 l 2
m 1 2 x dx m l l 12
2
l m 1 I z ' 0 x 2 dx ml2 l 3
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2. 回转半径 由 I z 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。
m
I z m z 2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对 对于均质刚体，
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
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质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
g T 2 l
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注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正）