好地研究城市地质环境的演变模式，我们还应每隔固定的一段时间收集所需研
究的元素在土壤中的浓度数据，建立扩散模型，该模型主要用于人为排放的污
染物的扩散迁移，但也适用于特定地点的土壤中富集元素的扩散迁移，能够较
好地反映城市地质环境的演变模式。
三、 符号说明和模型假设
3.1 符号说明
i =1,2,3,......8, x y
i
i
其次，我们利用内梅罗综合污染指数法，通过对附录中的重金属浓度和背
景值的分析计算，可以得到一区到五区中各种重金属综合作用污染指数 p 综。
内梅罗综合污染指数法的计算公式是：
( ) ( ) p c s c s =
/ / 2
2
i
i
+
max
i
i ave
综
2
( ) p c s/ 其中：
为某地区的综合污染指数；
功能区重金属元素污染的主要原因。
金属元素的污染是难以避免的，因此
研究重金属污染物的传播特性和分布规律是非常重要的。
我们分析重金属污染物的传播特征，对此，我们可以根据问题一和二所得
的结论与实际相结合来分析重金属污染物的传播特征，由问题一我们得到的城
区内不同区域重金属的污染程度 和在问题二中我们可以分析得到 Cr、Ni、Hg、
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其 他 公 开 的 资 料（ 包 括 网 上 查 到 的 资 料 ），必 须 按 照 规 定 的 参 考 文 献 的 表 述 方 式 在 正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
日期： 2012 年 9 月 1 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
涉及影响污染因素较少，有所误差。问题二绘制柱状图得出污染主要原因，但
是图表不能将区域污染量化。问题三建立抛面拟合模型很好地体现污染源位置
分布，但是这种模型对异常样本点数据处理能力不强，对全体数据拟合能力较
差。
上述问题中我们只考虑重金属污染物因雨水冲刷、大气沉降等因素浓度梯
度和海拔由高到低迁移，但是没有考虑重金属污染物在土壤中的扩散， 为了更
问题四，基于上述所建模型，我们只考虑了重金属污染物在土壤中的存在 形式和在空气中的传播过程，而忽略了土壤中的扩散。为了更好地研究城市地 质环境的演变模式，还应每隔一段时间收集所需研究的元素在土壤中的浓度数 据，建立适用于特定地点的土壤中富集元素的扩散迁移模型，能够较好地反映 城市地质环境的演变模式。
首先，我们用单因子污染指数计算出城区各种重金属元素平均值 p i
单 因子 污染 指数 的 公式 是： p = ci s i
i
p c 其 中： 为 重金 属 i 的 单因 子指 数， 为 重金 属 i 的 实测 浓度 。
i
i
当 p ≤1时表示未受污染， i
当 p >1时表示受到污染，且 p 越大污染越严重。
在 某 采 样 点 的 浓 度 z ， 令 z = f (x, y) 。 最 后 我 们 可 以 利 用 数 学 软 件 Matlab7.0 i
利 用 三 维 散 点 (x, y, z)将 函 数 z = f (x, y)绘 制 成 三 维 曲 面 图 ， 可 以 得 到 重 金 属 元 i
2
素 As、 Cd、Cr、 Cu、Hg、Ni、Pb、Zn 在五个功能区的空间分布图，因此根据 前面的分析，功能区对应的坐标有了，可以直观的看出各金属元素在所有采样 点的浓度分布即可以看出主要重金属元素在该城区的空间分布。
Pb 是 城 区 污 染 的 主 因 子 ，因 此 分 析 得 到 该 城 区 的 污 染 源 不 只 有 一 个 ，不 仅 有 点
源污染，还有面源污染。
在以上分析的基础上，我们将第一问中得出的各样本点的污染程度综合指
3
数按地理位置坐标进行三维曲面拟合，并作出相应的图形，近似地得到该城区 污染程度与地理位置的关系，我们可以建立抛面拟合模型从而确定污染源的位 置。
z
f (x, y)
ave max min
分别对应 8 种元素 采样点的横坐标 采样点的纵坐标
采样点所在地的金属元素的浓度
采 样点 (x, y)对 应点 的金 属元 素的 浓度
该区内某区域里某元素浓度的平均值 该区内某区域里某元素浓度的最大值 该区内某区域里某元素浓度的最小值
3.2 模型假设
1、污染源的重金属浓度不在增加 2、不考虑海拔的影响 3、取样点的数据较好的反映了该地区的污染浓度
二、 问题分析
1.问题一 解决 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布关键在于我们怎样根据附表
一和附表二给出的数据，绘制图形。根据题意不考虑海拔的影响，并且取样点 的数据能够较好的反映了该地区的污染浓度，具体思路是：首先建立以 x为横 轴， y 为纵轴， z 为竖轴的空间直角坐标系。其次根据题意，并假定金属元素 i
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公 园 绿 地 区 等 ， 分 别 记 为 1 类 区 、 2 类 区 、… … 、 5 类 区 ， 不 同 的 区 域 环 境 受 人 类 活动影响的程度不同。
1.2 问题重述
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间 距 1 公 里 左 右 的 网 格 子 区 域 ，按 照 每 平 方 公 里 1 个 采 样 点 对 表 层 土（ 0~10 厘 米 深 度 ）进 行 取 样 、编 号 ，并 用 GPS 记 录 采 样 点 的 位 置 。应 用 专 门 仪 器 测 试 分 析 ， 获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间 距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素 的背景值。
我 们参 赛选 择的 题 号 是（ 从 A/B/C/D 中 选择 一 项 填写 ）： A
我 们的 参赛 报名 号 为 （如 果赛 区设 置报 名号 的话 ）：
所 属学 校（ 请填 写 完 整的 全名 ）： 河 南师 范 大 学
参赛队员 (打印并签名) ：1.
贾飞
2.
王付全
3.
曹百红
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
城市表层土壤重金属污染分析数学模型
摘要
本 文 基 于 城 市 表 层 土 壤 重 金 属 污 染 的 现 象 ，精 确 计 算 各 功 能 区 的 污 染 程 度 ， 并确定污染源位置 的实际问题 。首先，利用 mat lab 软件绘制三维图 、柱状图， 建立抛曲面拟合模型，其次，收集城市地质环境演变的相关信息，优化模型对 问题求解，最后，较好地解决了题目所提出的问题。
出符合该题的抛面拟合方程，从而根据该方程拟合得到该城区综合污染指标三
维曲面图像及其等高线图，从而直观看出并确定污染源的位置，并能了解到一
定范围的受污染区域内污染源的类型。
4. 问题四
首先分析上述问题中所建模型的优点和缺点，问题一中所建模型依据内梅
罗综合污染指数法优点是定性地研究污染程度，合理且操作性强，缺点是模型
染 等 ）， 从而 有 效 地 解 决了 问 题 一。
2.问题二
我们要想通过数据分析，说明重金属污染的主要原因是什么关键在于我们
要找出在各个功能区里哪些或哪个重金属元素污染最为严重。对此，我们从这
个思想出发首先， 用 Matlab7.0 编程绘制柱状图形来形象的描述所 各功能区重
金属元素无量纲化浓度；利用重金属元素无量纲化浓度，并结合实际分析各个
问题一，首先针对问题实际情况，建立各元素的三维空间模型。其次，利 用 mat lab 软件绘制各重金属污染浓度的分布图，确定了重金属污染物的空间 分布。最后，利用单因子污染指数和综合污染指数法分析出不同区域内的重金 属 污 染 程 度 ，得 出 污 染 程 度 的 结 果（ 从 高 到 低 ）即 ：工 业 区（ 严 重 污 染 ）、交 通 区 （ 严 重 污 染 ）、 生 活 区（ 重 污 染 ）、 公园 绿地 区（ 中 污 染 ）、 山区 （ 警 戒线 ）。
最后，针对文章模型的求解结果，进行合理分析，并在结果分析中讨论模 型精度和稳定性对重金属污染分析和对研究城市地质环境演变模式的影响。
关键词：重金属污染 抛曲面拟合 内梅罗综合污染指数
1
一、 问题重述
1.1 问题背景
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质 量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得 的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的 演变模式，日益成为人们关注的焦点。
问题二，相对问题一的结果情况，首先，观察金属污染物的空间分布图以 及不同区域内的重金属污染程度指数，其次，绘制无量纲柱状图，观察各功能 区 主 要 污 染 物 ，最 后 ，结 合 实 际 情 况 ，说 明 各 功 能 区 重 金 属 污 染 的 主 要 原 因（ 见 4 . 2 ）。
问题三，首先，结合重金属污染物以点源污染或以面源污染的传播特征， 其 次 ，在 重 金 属 污 染 物 由 高 浓 度 向 低 浓 度 扩 散 的 基 础 上 ，建 立 抛 曲 面 拟 合 模 型 ， 最后，借用模型物体抛射产生的效果，近似模拟城区污染程度与地理位置间的 关系，解决主要污染源位置：工业区、交通区。