此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来 计算。
13.如图所示，一厚为 a 的“无限大”带电 平板，电荷体密度 = kx (0≤x≤a) k为一正 的常数。求： （1）板外两侧任一点 M1、 M2的电场强度大小；（2）板内任一点M 的电场强度；（3）场强最小的点在何处。
M1 o
M
M2
x
a
解：(1)在x处取厚为 dx 的平板,此平板带电量
E
E1 - a 2
z
o
1 a 2
X
a/2 E 2E cos 0r r 2a 2 2 0 (a 4 z )
方向如图所示. 或用矢量表示
E2a 2 2 0 (a 4 z ) i
E
Z
E
E1 a 2
z
o
1 a 2
X
10．一均匀带电细杆，长为 l，其电荷线 密度为 ，在杆的延长线上，到杆的一端 距离为 d 的 P 点处，有一电量为 q0 的点 电荷。试求：（1）该点电荷所受的电场力； （2）当 d >> l 时，结果如何？（自选坐 标系求解）
d x
点电荷 q0 所受的电场力为 q 0l F 4 0d d l
q0与 同号时，F // - i ， q0与 异号时，F // i 。 (2)当d >>l 时， q 0q F 2 4 0d
d
q0
l dx
o
x
x
d x
（q = L），此时线电荷分布视为点电荷。
11.一带电细线弯成半径为 R 的半圆形，电 荷线密度为 =0sin，式中 为半径为 R 与 x 轴所成的夹角，0 为一常数，如图所 示，试求环心 o 处的电场强度。

X
解：过 z 轴上任一点(0,0,z)分别以两条带 电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面， 如图所示.按高斯定理求出两带电直线分 别在该处产生的场强大小为: Z E- /(2 0r )
式中正负号分别表示 场强方向沿径向朝外 和朝里,如图所示.按 场强叠加原理，该处 合场强的大小为
E
[A]
6.半径为 R 的均匀带电球面, 总电量为 Q， 设无穷远处电势为零，则该带电体所产生 的电场的电势 U ，随离球心的距离 r 变化 的分布曲线为：
U U U
1 U r
o R
1 U r
o
R
1 U r
o
R
U
U 1 U 2 r
o R
1 U 2 r
r
r
r
(A)
(B)
(C)
(D)
r o R
1.图中所示为一沿 x 轴放置的“无限长” 分段均匀带电直线，电荷线密度分别为 +（x >0）和 -（x < 0），则 oxy 坐标 平面上点（0，a）处的场强 E 为： (A)0
( B ) 2 a i 0 i (C) 4 0a (D) i j 2 0a
y
0, a
M 右侧产生的场强方向沿 x 轴负向， 2 2 a kx k a x E2 dx x 2 4 0 0 2 2 2 k kx ka - x 2 2 2x - a E 4 0 4 0 4 0
（3）E = 0 时最小，
M1 o
M
M2
x
2x - a 0
2 2
x a
2
a
14. 真空中一均匀带电细直杆，长度为 2a， 总电量为 +Q, 沿 ox 轴固定放置（如图）。 一运动粒子质量为 m、带有电量 +q，在经 过 x 轴上的 C 点时，速率为 v。试求：（1） 粒子在经过x轴上的 C 点时，它与带电杆之 间的相互作用电势能(设无穷远处为电势零 点);（2）粒子在电场力作用下运动到无穷 远处的速率 v ( 设 v 远小于光速).
y

R 0

x
解：在 处取电荷元，其电量为
dq dl 0 R sind
y
dq
它在o点处产生的场强为
dq 0 sin d dE 2 4 0 R 4 0 R
dEy -dE sin
dE x
dE

0 dE y
x
在 x、y 轴上的二个分量
dEx -dE cos
(C)
4 0r
Q1
2
(D) 0 [D]
3.真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q， 在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设 无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为： (A)
q 4 0 r
q Q (C) 4 0 r
1 q Q (B) 4 0 r R 1 q Q q (D) 4 0 r R
a o a a
C
x
解：（1）在杆上取线元 dx，其上电量 dq Qdx 2a 设无穷远处电势为 a a a 零，dq 在 C 点处 o C x x dx 产生的电势 Q dx 2a dU 4 0 2a - x
整个带电杆在 C 点产生的电势 Q a dx Q U L du ln 3 -a 8 0a 2a - x 8 0a
A
R
H
解：在离顶点 A 为 x 处选厚为 dx 的薄圆 盘，此圆盘半径为 r 。 由图知
R x H ，r x H r R
r
R
x
H
A
此薄圆盘的带电量
dq dV r 2dx ,
r dx dx 电荷面密度=电量/面积= 2 r 由均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强
2
x 1 1 E - 2 2 2 0 x x R
[B]
4如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位 于正立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于： （A）q /60 ;
（C）q /240 ;
a
（B）q /120 ；
（D）q /360 .
d A
q
b
c
[C]
5.半径为 r 的均匀带电球面 1，带电量为 q；其外有一同心的半径为 R 的均匀带电 球面 2，带电量为 Q ，则此两球面之间的 电势差 U1-U2 为： q 1 1 q 1 1 - - (A) (B) 4 0 r R 4 0 R r q Q 1 q Q - (C) (D) 4 0 r 4 0 r R
l d
r
P
q0
解:(1) 选杆的左端为坐标原点，方向如图 示，任取一电荷元 dx，它在点电荷所在 处产生场强为 dx dE 2 4 0 d x 整个杆上的电荷在该点的场强为
E

l 0
4 0 d x
dx
2
d
4 0 d l lq0Fra bibliotekl dx
o
x
x
带电粒子在 C 点时，它与带电杆 a a 相互作用电势能为 o x dx W qU qQ ln 3 8 0a
a
C x
（2）带电粒子从 C 点起运动到无限远处时， 电场力作功，电势能减少。粒子动能增加。 1 1 2 2 mv - mv qQ ln 3 8 0a 2 2 由此得粒子在无限远处的速率

-
x
o
[ B ]
2.两个同心的均匀带电球面，内球面半径 为 R1、带电量 Q1，外球面半径为 R2、带 电量 Q2，则在内球面里面、距离球心为 r 处的 P 点的场强大小 E 为：
Q Q 1 2 (A) 2 4 0 r Q Q 1 2 (B) 2 2 4 0R1 4 0R2
可得此薄圆盘在 A 点的场强
x dE 1 2 2 2 0 r R
R
r
x
H
A
2 2 1 - H H R dx 2 0 H H dx E 0 1 2 2 2 0 H R
H H 1 2 2 2 0 R H
(C)场强大处，电势一定高； (D)场强的方向总是从电势高处指向低处.
[D]
9.如图所示，在X--Y平面内有与Y轴平行、 位于 x= a/2 和 x = - a /2 出的两条“无 限长”平行的均匀带电细线，电荷密度分 别为 和 -．求轴上任一点的电场强 度． Z - Y
a - o 2 a 2
0 Ex 0 sin cosd 0 4 0 R 0 0 2 Ey 0 sin d 8 0 R 4 0 R 0 E Exi Ey j - 8 R j 0
12 .如图所示，圆锥体底面半径为 R ，高 为 H，均匀带电，电荷体密度为 ，求顶 点 A处的场强。
(E)
r
[A]
7.已知一高斯面所包围的体积内电量代数 和 qi 0 ，则可肯定：
（A）高斯面上各点场强均为零。 （B）穿过高斯面上每一面元的电通量均为 零。 （C）穿过整个高斯面的电通量为零。 （D）以上说法都不对。
[C]
8.下面说法正确的是
(A)等势面上各点场强的大小一定相等；
(B)在电势高处，电势能也一定高；
dq dx S
电荷面密度为
dq dx S
M1 o
M
dx kxdx 则 dE 2 0 2 0 2 0
a 0
M2
x
x
kx ka 2 a E dx 2 0 4 0 （2）板内任一点 M 左侧产生的场强方向沿 x 轴正向， x kx kx 2 E1 dx 0 2 4 0 0
qQ 2 v ln 3 v 4 0am
12