习题1111-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强。

解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。

①对于半无限长导线A∞在O点的场强：有：(cos cos)42(sin sin)42AxA yERERλπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②对于半无限长导线B∞在O点的场强：有：(sin sin)42(cos cos)42B xB yERERλπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩③对于AB圆弧在O点的场强：有：200200cos(sin sin)442sin(cos cos)442AB xAB yE dR RE dR Rππλλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰∴总场强：04O xERλπε=，04O yERλπε=，得：0()4OE i jRλπε=+。

或写成场强：0E==，方向45。

11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为0sinλλϕ=，式中λ为一常数，ϕ为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。

解：如图，200sin44ddldER Rλϕϕλπεπε==，cossinxydE dEdE dEϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩考虑到对称性，有：0=xE；∴200000000sin(1cos2)sin4428yd dE dE dER R Rππλϕϕλλϕϕϕπεπεε-=====⎰⎰⎰⎰，方向沿y轴负向。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为1R，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，xyE求空腔内任一点的电势。

解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，当12R r R <<时，有：203132031323)(4)(34r R r r R r E ερπεπρ-=-=，当2r R >时，有：20313220313233)(4)(34r R R r R R E ερπεπρ-=-=，以无穷远处为电势零点，有：21223R R R U E d r E d r ∞=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰∞-+-=2R dr r R R dr r R r R R203132203133)(3)(21ερερ)(221220R R -=ερ。

11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：00)2U x σε=，那么，(2Ob O b U U U R b σε=-=+，由能量守恒定律，222000111()(2222Ob q m v m v qU mv R b σε=--=++，有：)(22020b R b R m q v v +-++=εσ大学物理第12章课后习题12-3．有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势．解：由高斯定理，可求出场强分布：132********12004024E r R q E R r R r E R r R q E r R r πεπε=<⎧⎪⎪=<<⎪⎪⎨=<<⎪⎪=>⎪⎪⎩∴321321012340R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞=⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰2312200244R R R q q dr dr r rπεπε∞=+⎰⎰321112()4q R R R πε=-+。

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R <r <2R )的电势。

解：∵1R <r <2R 处电场强度为：02E rλπε=，∴内外圆柱间电势差为：21212001ln 22R R R V V dr r R λλπεπε-==⎰则：12021()2ln()V V R R λπε-= 同理，r 处的电势为：22200ln 22R r rR U V d r r rλλπεπε-==⎰（*）∴220ln 2r R U V r λπε=+212221ln()()ln()R r V V V R R =-+。

【注：上式也可以变形为：r U =111221ln()()ln()r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）式用：11001ln 22rr R rV U dr r R λλπεπε-==⎰计算，结果如上】 习题1313-3．面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为3d ，相对介电常数为r ε的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3d的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？解：（1）电介质外的场强为：00E σε=，而电介质内的场强为：0r r E σεε=， 所以，两板间电势差为：00233r d U d σσεεε=⋅+⋅， 那么，03(21)r r S Q S C U U d εεσε===+，而00S C d ε=，∴0321r r C C εε=+； （2）插入厚度为3d的导电板，可看成是两个电容的串联，有：00123/3S S C C d d εε===， ∴0021212323C d S C C C C C ==+=ε⇒032C C =。

23d3d3d13-6．如图所示，半径为0R 的导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理iSS D d S q ⋅=∑⎰⎰内。

（1）导体内外的电位移为：0r R >，24QD r π=；0r R <，0D =。

（2）由于0r DE εε=，所以介质内外的电场强度为：0r R <时，10E =；10R r R >>时，22004DQE r επε==；21R r R >>时，32004r r DQE r εεπεε==；2r R >时，42004D Q E r επε==。

13-12．一平行板电容器的板面积为S ，两板间距离为d ，板间充满相对介电常数为r ε的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变而把介质取出；（2）维持两板上电压U 不变而把介质取出。

解：（1）维持两板上面电荷密度0σ不变，有介质时：2201001122r r Sd W E Sd σεεεε==， （0r D E εε=，0D σ=）取出介质后：2202001122Sd W E Sd σεε==， 外力所做的功等于静电场能量的增加：2021011(1)2r Sd W W W σεε∆=-=-； （2）维持两板上电压U 不变，有介质时：20212121Ud S CU W r εε==，取出介质后：20222121U d S CU W ε==，∴02211(1)2r S W W W U d εε∆=-=-。

大学物理第14章课后习题14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I IB R Rμθμπ==，方向：；直导线在O点的磁感应强度：000020[sin 60sin(60)]4cos602II B R Rμππ=--=，方向：⊗；∴总场强：01)23IB Rμπ=-，方向⊗。

14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密度为σ。

（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大小；（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的磁场B 和电场E 之间满足下述关系：21B v E c =⨯（式中001με=c ）。

解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i v σ=，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：0abcdB dl L i μ⋅=⎰⇒02B L L v μσ⋅=，∴磁感应强度B 的大小：02vB μσ=；（2）非相对论情形下：匀速运动的点电荷产生的磁场为：02ˆ4qv rB rμπ⨯=⋅，点电荷产生的电场为：201ˆ4q E r rπε=⋅， ∴0002220ˆ11ˆ44q qv rv E v r B c r rμεμπεπ⨯⨯=⨯⋅=⋅=， 即为结论：21B v E c =⨯（式中001με=c ）。

14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。

解：因为一个阴影的横截面积为S ，那么面电流密度为：Ii S=，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i ±，设其中一个阴影在真空部分某点P 处产生的磁场为1B ，距离 为1r ，另一个为2B 、2r ，有：12r r d -=。

利用安培环路定理可得：201011122I r I r S B r S μπμπ==，202022222I r I rS B r Sμπμπ==，abcdLP1r 2ˆr ⊥1ˆr ⊥ˆ则：0111ˆ2I r B r Sμ⊥=，0222ˆ2I r B r Sμ⊥=，∴00121122ˆˆˆ()22II d B B B r r r r d SSμμ⊥⊥⊥=+=+=。

即空腔处磁感应强度大小为02I dB Sμ=，方向向上。

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。

该处地球磁场的垂直分量向下，大小为55.510B T -=⨯，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm 时将偏转多远？解：（1）根据f q v B =⨯可判断出电子束将偏向东。

（2）利用221mv E =，有：m E v 2=， 而ma qvB f ==，∴1141028.62-⋅⨯===s m m EmqB m qvB a（3）2211()322Ly at a mm v===。