最大值与最小值
一、基础过关
1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．
3．函数y ＝ln x
x 的最大值为________．
4．函数f (x )＝x e x 的最小值为________．
5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a ,2]上的最大值为15
4
，则a 等于________．
6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．
7．求函数f (x )＝1
3x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值．
二、能力提升
8．函数y ＝4x
x 2＋1
的值域为________．
9．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________．
10．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
11．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．
12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝(x －k )e x .
(1)求f (x )的单调区间；
(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．
答案
1．10 2 2．2 3．e －
1
4．－1e
5．－12
6．[－4，－2]
7．解 因为f (x )＝1
3x 3－4x ＋4，
所以f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．
令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－2(舍去)．
又由于f (0)＝4，f (3)＝1，f (2)＝－4
3
，
因此，函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－4
3.
8．[－2,2]
解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4
(x 2＋1)2＝0，
得x ＝±1.
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y ′ － 0 ＋ 0 － y
↘
极小值
↗
极大值
↘
∵x >0时y >0，x <0时，y <0.
结合表可知x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2.
9.22 10．(－∞，2ln 2－2]
11．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 f (x )
－40＋a
↗
极大值a
↘
－8＋a
∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．
∴⎩
⎨⎧
－1＋3＝2
3a －1×3＝
b 3
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝3
b ＝－9.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值c ＋5
↘
极小值c －27
↗
而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，
∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18. ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)， 此即为参数c 的取值范围． 13．解 (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1， f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：
x (－∞，k －1)
k －1 (k －1，＋∞)
f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
↘
－e k －
1
↗
所以f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)； 单调递增区间是(k －1，＋∞)．
(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；
当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －
1.
当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.。