q l36 lx 24x3 2E 4I
22
q
qxl32lx 2x3
A
2E 4 I
B x
(5) 求最大值
l
x 0 或 x l: m a x A B 2 q E 3 4 l I
xl: 2
0;m a x l23 5q8 E 4l4I
弯曲变形的对称点：θ＝0。
边界条件： x 0 : 0 或
0l./52L
表7-1第8栏 d F C (d F )l(x )4 3 (lE 2 8 4 I(lx )2)
qCdFC
q0(lx)2(3l24(lx)2)dx 2l4EI
0 l.5 lq 0 (l x )2 ( 2 3 ll2 4 E 4 (lI x )2 )d x 2 q4 E 4 l0 I
q
解：① 简单载荷引起的变形
表7-1第7栏
FCF4(28E a)3I6 FEa3I
表7-1第9栏
qC 53q(82E a4)4I25q4Ea4I
② 叠加
C(25q4Ea4I6 FEa3I)
[例7-7] 用叠加法求C点挠度。
q0
解:积分法
A
C
B d Fq(x)dx 2q0(lx)d x
l
0.l5/2L
(2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分
EI 1 F x1 a
EI 1
F 2
x1
a 2
C1
EI 1
F 6
x1
a 3
C1x1 a D1
EI 2
Fa l
x2 l
EI 2
Fa 2l
x2
l 2
C2
EI 2
Fa 6l
x2
l 3
C2x2 l D2
EI1 Fx1 a
EI1
F 2
所引起的该参量的代数和。
F
2a
F
q
=+
q
d2
EI dx2
M
MM FM q
EIdd2x2F
Ed d I2 x 2Ed d I2 x2FEd d I2x 2q
MF
d2 EI
Fq
dx2
EIdd2x2q Mq
Fq
* 表7-1
[例7-6] 荷载F作用在梁的中点，用叠加法求C点挠度。
F
2a
F
q
+
=
EIM (x) M(x)6Fx
6F
+
FS(x)dM dx(x)6F
q(x)dFS(x)0
l
6F
6Fl
dx
边界 x0 ， 0
6Fl
条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
l，
Pl3
EI
6F
故可确定其为悬臂梁。
§7-3 用积分法求挠度和转角
dd2x2
M(x) EI
d d xE Md IxC 转角方程
E Md IxdxC xD挠度方程
A
l
l
解:① 建立坐标系并
x
作弯矩图
C
EIM (x)
AB段: M 0 ， 0
m
MA
B
∴ 上凸
C BC段: M 0 ， 0
边界条件: C0，C0
B
C
A
∴ =0
同时B处须满足连续光滑条件， 即曲线与直线在B点相切。
[例7-2] 画出下列的挠曲线大致形状。
解:① 建立坐标系并
A
BF C
F x
作弯矩图
D
tan d
dx
dfx
小变形：tan
dx
§7-2 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
1 M(x)
(x) EI
M0
d 2
O
M0
0
0
x
1
(x)
1
dx 2
d
2
3
2
d 2 dx2
dx
d2
dx2
M(x) EI
dd2x2
M(x) EI
[例7-1] 画出下列的挠曲线大致形状。
m
Bm
xl2:0
x l: 0
xl2:0
[例7-5] 用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。
F
A
B 解：(1) 分段写弯矩方程
C
x
RaA
l
RB
R A F a l l R B F l a
C 段 M 1 A F x 1 ： a － a x 1 0
M
Fa
A 段 B M 2 ： F lx a 2 l0 x 2 l
x1
a2
C1
F EI1
F 6
x1
a3
C1x1
a
EI2 Flax2 l EI2 F2lax2 l2 C2 EI2 F6lax2 l3 C2x2
D1
l
D2
(3) 确定积分常数 C A
B
边界条件 xl: 20 D20
x
连续性条件
x0:12
F22aC1F2alC2
x 0 : 1 2 0 F 63a C 1aD 1F 62 a C l2l0
C、D ——积分常数；由边界条件和连续性条件确定。
边界条件: 固定端： ＝0；＝0；
铰支座： ＝0；
弯曲变形的对称点： ＝0。
连续性条件: 在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠
度和转角。
[例7-4]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对
值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。
q
A
x
RA
l
B 解：(1) 写弯矩方程
x
RB
M (x )qx l qx 2 0x l
22
(2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分
E I qx l qx 2 0xl
22
EIqlx2qx3C
46
EIqx l3-qx4C xD
12 24
(3) 利用边界条件确定积分常数
x 0 : 0 D0 x l: 0 C ql3
24
(4) 求转角方程、挠度方程 E I qx l qx 2 0xl
材料力学
第七章 弯曲变形
§7-1 概述
§7–2 挠曲线近似微分方程
§7-3 用积分法求挠度和转角
§7-4 用叠加法求挠度和转角 §7-5 梁的刚度计算
§7-6
§7-7 §7-8
简单超静定梁 梁的弯曲应变能 提高弯曲刚度的措施 本章习题
§7-1 概述
一、工程中的弯曲变形问题
二、弯曲变形的量度——挠度和转角
C2
Fal 6
C1
FalFa2 32
D1
Fa2al
3
(4) C截面的挠度和转角
x a : C 6 F E 2 a lI 3 a C 3 F E 2 a a Il
§7-4 用叠加法求挠度和转角
叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量
（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时
EIM (x)
2a
aa
AB段: M 0 ， 0
边界条件: A0， A0
M
Fa
∴ =0
A
B CD
BD段: M 0 ， 0
A
BC
∴ 上凸且 C＝0
同时B处须满足连续条件。
[例7-3] 等截面直梁，其挠曲线 Px 3 ，长度为l，
确定梁的载荷、支撑情况。
EI
M FS
6F
解:① 作弯矩图、剪力图
6Fl
P
挠 度 (deflection) ： 横 截
A
B
面形心在垂直于轴线方向
x
挠曲线 x 的位移。向上为正。
(deflection curve) fx
转角(slope of cross section )：横截面绕中性轴转过的
角度，即 y 轴与挠曲线法线的夹角，或 x 轴
与挠曲线切线的夹角。逆时针方向为正。