第三章 多维随机变量及其分布
n
解:(1)P{X n} P{X n,Y m}
m0
n e14 (7.14)m (6.86)nm
m0
m!(n m)!
e14 n
n! (7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e14 (7.14 6.86)n
14n e14
,
n 0,1,2,
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时
P{Y m | X n} P{X n,Y m} P{Y n}
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e14 (7.14)m (6.86)nm e14 (7.14)m (6.86)k
m!
nm (n m)! m!
k0 k!
e14 (7.14)m e6.86 (7.14)m e7.14 , m 0,1,2,
m!
m!
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
F
(x,
y)
1
1 2
y2
y
1e y
,
0 y x,
1
(x
1)e x
1 2
x2ey
,
0 x y.
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第三章 多维随机变量及其分布
25.设随机变量(X,Y)服从区域
D (x, y) : 0 x a,0 y a
上的均匀分布,试求:
(2)M max{X ,Y}的概率密度. (2)解 : 设M的分布函数和概率密度分别 为F (z)和f (z).
i)当z 1时, F (z) 0; ii)当z 2时, F (z) 1;
iii)当1 z 0时,
F(z)
f
(x,
y)
0,
其他.
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由 f (x, y)dxdy 1可解得c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
xy
(5)F(x, y)
f (u, v)dudv
i)当x 0或y 0时, F (x, y) 0;
ii)当y x 0时,
n!
n!
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
P{Y m} P{X n,Y m}
nm
e14 (7.14)m (6.86)nm
nm
m!(n m)!
26.设随机变量X与Y相互独立,X的分布律为
PX i 1 i 1,0,1,
3
Y的概率密度为
1, 0 y 1,
fY ( y) 0,
其他.
记Z=X+Y,试求: (2)Z的概率密度.
(2)解 : 设Z的分布函数和概率密度
分别为F (z)和f (z).
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第三章 多维随机变量及其分布
F (z) PZ z PX Y z PY z X
m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
(2)当m 0,1,2,时
P{X n | Y m} P{X n,Y m} P{Y m}
e14 (7.14)m (6.86)nm e7.14 (7.14)m
m!(n m)!
m!
(6.86)nm e6.86 , n m, m 1, (n m)!
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第三章 多维随机变量及其分布
由题意知( X ,Y )的联合密度函数为
1 a2 ,0 x a,0 y a,
f (x, y) 0,
其它.
F (z) PZ z Pmax{X ,Y} z PX z,Y z
zz
f (x, y)dxdy
i)当z 0时, F (z) 0; ii)当z a时, F (z) 1;
iii)当0 z a时,
F(z)
z 0
z 0
1 a2 dxdy
z2 a2
.
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第三章 多维随机变量及其分布
即
0,
F
(
z)
z
2
a2 ,
1,
因此
z 0, 0 z a, z a.
f
(
z)
F
( z )
2z
a2 ,
0,
0 z a, 其它.
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第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
9.以XY记其中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
(1)求边缘分布m律 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
(2)求条件分布律 (3)写出X=20时,Y的条件分布律
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(3)P{Y m | X 20} C2m0 0.51m0.4920m , m 0,1,2,,20.
P{Y m | X n} Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2,, n
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第三章 多维随机变量及其分布
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y ,
其他.
F ( y, y) lim F (x, y) lim1 (x 1)ex 1 x2ey
x y
xy
2
1 1 y2 y 1ey.
2
iii)当x y 0时,
F (x, y) F ( y, y) 1 1 y2 y 1ey.
2
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第三章 多维随机变量及其分布
则
0,
x 0或y 0,
F(x, y) xຫໍສະໝຸດ y uevdudv x
udu
y evdv
0u
0
u
x
u
eu
ey
du
1 (x 1)ex
1
x 2e y .
0
2
xe y ,0 x y ,
f (x, y) 0,
其他.
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第三章 多维随机变量及其分布
xe y ,0 x y ,
则
f (x, y) 0,
e
1414
n
n!
Cnm
7.14 14
m
6.86 14
n
m
Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2,, n
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布