定理5.1
设{Xn} 相互独立，且Xn方差存在，有 共同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
贝努利大数定律
定理5.2
设 n 是n重贝努利试验中事件A出现的次数， 每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
nlim P
n
n
p
1
辛钦大数定律
定理5.3
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的
2 i
i1
注意点
当{Xn} 为独立同分布时， ai=， i=，则
P
a
n i 1
Xi
b
b n
a n
n 2 n 2
例 每袋茶叶的净重为随机变量，平均重量为100克， 标准差为10克。一箱内装200袋茶叶，求一箱茶叶的 净重大于20500克的概率? P112（6）
解: 设箱中第 i 袋茶叶的净重为 Xi, 则X1 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
一、给定 n 和 y，求概率
例： P113 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一
(13) 个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
2 4.08 1 2 0.99997748 1 0.99995496
二、给定 n 和概率，求 y
例： 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台
机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有
95%的可能性保证正常生产? P113（10）
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
由中心极限定理得，所求概率为：
P
200 i 1
Xi
20500
1
20500 200 100 200 100
1 (3.54) = 0.0002
故一箱茶叶的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
例 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
数学期望存在E(Xi)=a。则 {Xn}服从大数
定律.
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
a
1
§5.4 中心极限定理
正态分布是概率统计中最重要的分布， 其原因在于：
1. 很多随机现象可以用正态分布描述； 2. 很多随机现象可以近似用正态分布描述。
正态分布的来源：误差理论
误差由许多原因引起：
人为的、设备的、环境的、突发的、……
解：
解: 设X 表示100户中被盗索赔户数，则
X ~ b(100, 0.2)
所求 P(14≤X≤30)
30
4
20
14
4
20
(2.5) ( 1.5) (2.5) [1 (1.5)]
= 0.927
注意点
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
(3.53) (6.85) 0.00021
二项分布的正态近似
定理5.5 拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np
npq
y
( y)
例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求 500发炮弹中命中 5 发的概率。
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
1
85
90 9
(1.67)
0.95254.
课堂练习
P113 (8)
n 10000, p 0.6.
D
10000 i1
X i
np(1
p)
2400,
E
10000 i 1
X
i
np
6000,
P
10000
5800 X 6200 i i 1
6200 6000 2400
5800 6000 2400
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 相互独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
(1)
P( X
5)
C
5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼近:
P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5)
5.5 5 4.95
4.5 5 4.95
= 0.1742
例 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中 被盗索赔户占20%. 随机抽查100户，求被盗索赔户 不少于14户且不多于30户的概率.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.
设供电量为y, 则
P{15Y
y}
y
/ 15 140 42
0.95
二、给定 n 和概率，求 y
例： 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台
机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有
95%的可能性保证正常生产? P113（10）
概率论与数理统计 第五章
大数定律
➢ 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； ➢ 给出几种大数定律：
切比雪夫大数定律（定理5.1）P105； 贝努里大数定律（定理5.2）P106 ； 辛钦大数定律（定理5.3）P107.
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
§5.2 切比雪夫不等式
设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数ε，有下面不等式成立
P{| X E( X ) | } Var( X ) 2
P{| X E( X ) | } 1 Var( X ) 2
§5.3 切比雪夫大数定律
X1、 X2、
n
所以总误差= Xi i1
X3、
X4、……
中心极限定理：什么条件下
n
Xi 的分布可以用正态分布近似？
i1
定理5.4 李雅普诺夫中心极限定理 P108
设 {Xn} 为独立随机变量序列，数学期望为ai,
方差为 i2>0，则有
lim
n
P
n i1
(
Xi Sn
ai
)
x (Biblioteka x)nSn