1
¹ 当 a I ( e e , + ] )时没有交点;
1
º 当 a I { e e } G [ e- e, 1] 时, 一个交点;
1
» 当 a I ( 1, e e )时, 二个交点;
¼当 a I ( 0, e- e )时, 三个交点.
例 求方程 a |x | = ∣ logax ∣的实数解的个数 1 解 由推论我们可得:
loga x ( 0 < a < 1 )相 切于 唯一 公共 点 P ( x, ax ), 则 a = e- e1
证明 如图 3点 P ( x, ax )必在直线 y = x 上 (也
在直线 y = - x + m, 1> m > 0上 ), 则 x = ax
¹
# 教材教法 #
( 2007年第 8期 )
图1
正确的解答 为 A. 不 妨 将上 述两 函数 的 底数 a
取 1, 指数函数 16
y=
( 1 )x 与 y = 16
log
1 x交于 (
16
1, 2
1 4
)
、(
1 4
,
1 2
)以及
y=
x 上一点.
故
A 为正确选项.
关于指数函数 y = ax 与其反函数 y = loga x 的图
像交点有以下几种 情况, 没 有交点, 一个交 点, 二个
图6
图7
1
( 1)当 aI (e e , + ] )时, 方程有 1个解 (如图 4);
1
( 2 )当 a I { e e }时, 方程有 2个解 (如图 5 );
1
( 3 )当 a I (1, e e )时, 方程有 3个解 (如图 6);
( 4 )当 a I [ e- e, 1] 时, 方程有 2个解 (如图 7);
且指数函数 y = ax 在 P 点的切线的斜率为 1,
则 yc= ax lna = 1
º
联立 ¹ º 得
x = ax, (x > 1, a > 1)
ax lna = 11
(* )
此方程组应 有唯一 解, 由 于该 超越 方程 组中 a
和 e联系很紧, 不妨换元, 令 a = ep, (p > 0), 方程组
13
图4
图5
1
图 3 底数 a= e e 时
且指数函数 y = ax 在 P 点的切线的斜率为 - 1,
则 y c= ax lna = - 1
º
联立 ¹ º 得
x = ax, ax lna = - 1, ( 0< x < 1, 0 < a < 1 )
方程组应有唯一解, 换元, 令 a = ep, (p < 0)
先看如下例题: 例 下列各点 中, 可 能是 指数函 数 y = ax 与其 反函数交点的是
A1(
12,
1 4
)
B1 ( 2, 3 )
C1 ( 1, 1)
D1 ( 2, 1)
误解 C 错误认为指数函数 y = ax 与 其反函数
y = loga x 的图像交点必在 y = x 上, 但是 y= ax 与 y = loga x 都不会过 ( 1, 1 )点. 为便于从图象上观察, 我们 取如图 1反例.
(* )可变形为
x = exp, ]
expp = 1
x = exp, ]
xp = 1
x = e,
p=
1 e
1
1
故指数函数 y = ( e e ) x 与对数函数 y = log 1 x
ee
相切于唯一公共点 P ( e, e).
类似的有:
命题 Ò 若 指数 函 数 y = ax 与 其 反 函 数 y =
交点, 三个交点.
命题 Ñ 若指数函 数 y = ax 与其 反函数 的 y =
loga x ( a > 1 )相切于唯一公共点 P ( x0, ax0 ).
1
则 a= e e .
证明 如图 2 切 点 P ( x0, ax0 )必 在 直 线 y = x
上, 则 x = ax 1
¹
1
图 2 底数 a= e e 时
则方程组可变形为:
x = exp, ]
expp = - 1
x = exp, ]
xp = - 1
x= 1, e
p = - e1
故当 a = e- e时, 指 数函 数 y = ( e- e )x 与对 数函
数 y=
loge- ex 相切于唯一公共点 P (
1 e
,
1 e
).
推论 对于指数函数 y = ax 与其反函数的 y= logax1
( 5 )当 a I ( 0, e- e )时, 方程有 4个解 (如图 8) 1
图8 ( 收稿日期: 20070628)
封面人物简介
庞金典 1963年出生, 华中师范大学数学系毕业, 湖北省数学特级教师, 1998 年被评为全国 模范教师, 2001年被湖北省人民政府授予有突出贡献中青年专家称号 1 现任湖北省天门中学副校 长1
连续十几年担任高三毕业班长期担任高中毕业班的数学课的教学以及班主任工作, 在指导学 生复习备考上, 有独特的方法, 取得了令人瞩目的成绩, 所带的学生曾获湖北省 2000年高考理科总 分第一名、第二名, 多次被评为天门市高考优秀辅导教师 1
在教学方法上有一定的研究 1 近五年来, 在省级以上刊物上发表近十篇教学文章 1 作为课题 主要负责人承担省级国家级课题五项 1 主编 5中学生数学)
# 教材教法 #
指数函数与其反函数的交点问题探讨
443300 湖北宜都一中 邹庆禹
在 高中 数 学 教 材 第 一册 函 数 章 节, 学 习 了函 数、反函 数、指数 函数 及其 反 函数 ) ) ) 对 数函 数的 基础上, 本文对指数函数 y = ax 与其反函数 y = loga x 的交点情况进行了探讨, 得到了较完美的结论.