整式的概念概念总汇1、代数式的有关概念（1）代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式．说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如x y 2就不是一个单项式，因为2y 与x 之间是除法运算．但是，21 ab 2是单项式，因为21是一个数．a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x 等都是单项式 （2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和．如单项式3x 2、2xy 、31x 2y 、21x 的次数分别是2、2、3、1．特别地，单独的一个数字，如3，－９等，可以当做0次单项式来看待．（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式x 2＋2x －1是由单项式x 2，2x 和－1相加而得到的（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。

说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如：x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ① ＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ② ＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③ ＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4 ④ 其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．方法引导1. 对单项式、多项式、整式进行判断例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．难度等级：A(1)－3xy 2；(2)2x 3＋1； (3)21(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0；(6)y x 2； (7)32xy ； (8)x 21； (9)x 2＋x1－1；(10)11+x ； 【知识体验】只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。

在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。

没有出现2÷x 即x 2,或x ÷2即2x 这样的式子，那么2x ,x 2是整式吗？2x 可以写成21·x ,所以2x 是单项式，而2x是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。

所以(6)y x 2；(8)x 21；(9)x 2＋x 1－1；(10)11+x ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。

【易错提示】 (6)y x 2 和 (7)32xy 这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成xy •32，所以是单项式，而（6）是2x ÷y ，所以不是单项式也不是整式。

(3)21 (x ＋y ＋1)；会误以为是单项式，其实21 (x ＋y ＋1)＝21x +21y +21，所以是三个单项式的和，是一个多项式。

2、说出单项式、多项式的次数和项例2 指出下列各单项式的系数与次数：难度等级：A（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3432y x π （4）－3； 【知识体验】单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm 3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：3432y x π的系数是34π，次数是5。

另外，像－3，21，0等这样的常数，是零次单项式．【易错提示】-nm 3的系数是-1；3432y x π的系数是34π，次数是5，如写成系数是43，次数是6就不对了.例3、填空：难度等级：A（1）多项式2x4-3x5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升幂排列得；（2）多项式a3-3ab2+3a2b-b3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b降幂排列得 .【应用体验】－2π4是常数项，不是4次项。

确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。

另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.【解题技巧】多项式应看作是省略括号的和的形式．因此，当确定多项式的项时，应包括符号．另外，圆周率π是一个常数．回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。

例题讲解（一）题型分类全析1、与代数式有关的题型例1. 用代数式表示：难度等级：A（1）把温度是t℃的水加热到100℃，水温升高了___________℃。

（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。

（3）用字母表示两个连续奇数为___________。

难度等级：B（4）若正方体的棱长是a－1，则正方体的表面积为___________。

难度等级：C（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为___________米2。

【思维直现】（1）温度差别就是末了温度－初始温度；（2）一个两位数的表示方法：十位数字×10＋各位数字；（3）连续奇数之间相差2；（4）正方体的表面积＝棱长×棱长×6；（5）射进阳光的面积＝长方形面积－阴影部分的面积。

【阅读笔记】用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如10b ＋a ；数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如（100－t ）；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 211要写成ab 23的形式；（3）除号要改写成分数线，如：a ÷b 要写成b a ；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（12ab ＋2R π）平方米。

【题评解说】列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如面积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。

列代数式是后续学习列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。

【建议】对列代数所用到的知识要努力回忆和复习，要多练才能熟练。

【搭配练习】1. 长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，该长方形的周长为____________厘米，面积为________平方厘米。

2. 一桶汽油倒出30%还剩a 千克，则这桶汽油原有____________千克。

3. 如果用C 表示摄氏温度，f 表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的95还多32，则f =____________。

4． 商场中某牌子的电视机有A ，B ，C 三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的a 台，B 型的b 台，C 型的c 台，则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.5、小红和小兰房间窗户的装饰物如图1－3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.图1－3（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？例2. 用语言叙述下列代数式的实际意义。

难度等级：B（）；（）；（）；（）1323120%)492222a a b x a a +--(π【思维直现】列代数式要有一定的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。

【阅读笔记】要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如2a 可表示边长为a 的正方形的面积，2a π可表示半径为a 的圆的面积等。

这样才能写出合理的代数式的意义。

【题评解说】用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向，要根据代数式写出问题的背景，可以写出不同的问题背景，只要合理即可。

【建议】要仔细体会本题的解答，理解这类问题的解题思路。

【搭配练习】用语言叙述下列代数式的实际意义。

(1)ab （2）()2b a + (3)4c2、单项式、多项式的概念有关的题型例3 一个五次多项式，它的任何一项的次数都A ．小于5B ．等于5C ．不小于5D ．不大于5 难度等级：B【思维直现】由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不能是大于五次的．因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的．【阅读笔记】多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，如果直接问是几次多项式，要先求出每一项的次数，找出最高次作为多项式的次数，而本题是告诉是五次多项式，想象一下多项式中每一项的次数情况，这里有一个逆向思维的问题。