第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例1 设在x轴的原点处放置了一个电量为+q的点电荷 形成一个电场 , 求单位正电荷沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b时电场力F(x) 所作的功 ( 如下图所示 ) . 解 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力
a r r dr b kq 则功的元素为 d W d r r2 1 b 1 1 k q k q ( ) 所求功为 a b ra k q 说明 a
o
xdx x l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 . 2 k m l 故棒对质点的引力大小为 F
a
1 4a l
2 2
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第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力大小为 F
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q o
1 1
r
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
二.液体的侧压力
由物理学知道 , 如果有一面积为A的薄板水平地
放置在液体中深为 h 的地方, 那么薄板一侧所受的
压力为P = pA，其中 p = ρhg 是液体中深为 h 处的 压强(ρ是液体的密度) . 如果此薄板垂直地放置在液体中, 由于不同深度 的点处压强不同 , 求薄板一侧所受液体的压力则要 用定积分来解决 .
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第三节 定积分在物理上的应用
例3 一闸门呈倒置等腰梯形垂直地位于水中,两底的 长度分别为4m和 6m, 高为6m, 当闸门上底正好位于 水面时, 求闸门一侧受到的水压力(水密度103kg/m3). 解 选取坐标系如图, AB的方程为
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第三节 定积分在物理上的应用
在[0, 6]上积分得
2 x x P 9.8 x 2 3 dx 9.8 3 x 0 9 0 6
6
3 6
9.8 84 8.23 102 (kN) 8.23 105 (N)
2
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第三节 定积分在物理上的应用
棒对质点的引力的垂直分力为 l dx 2 Fy 2 k m a 2 2 32 0 (a x )
d Fy
y M a d Fx

x k m a 2 2 2 a a x 0
l 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章
定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第二节 定积分在几何上的应用
第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
第三节
定积分在物理上的应用
本节主要内容: 一.变力沿直线段做功 二.液体的侧压力 三.引力
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第三节 定积分在物理上的应用
三.引 力
质量分别为 二者间的引力 : 的质点 , 相距 r ,
m2
r
m1
大小:
方向: 沿两质点的连线
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
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故垂直分力元素为
l 2
dF
d Fy dF cos dx a m dx k m a k 2 3 2 2 2 2 2 2 a x (a x ) a x
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o
xdx x l x
x y 3 6
取 x 为积分变量, 变化范围[0,6] 取代表区间[x, x+dx]，在水下深为x m 处的压强为9.8 x kN/m2，因此与代表区间相应的一 小窄条上所受的压力微元 dP 9.8 x 2 x 3 dx
6
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第三节 定积分在物理上的应用
设物体在连续变力F(x)作用下沿 x 轴从 x＝a移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作功元
素为
d W F ( x ) dx
a
b
x xdx b x
因此变力F(x) 在区间
a
上所作的功为
W F ( x ) dx
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第三节 定积分在物理上的应用
一.变力沿直线段做功
从物理学知道, 如果常力F作用在物体上, 是物体
沿力的方向移动距离S，那么力F对物体所作的功为
W = FS 如果物体在运动中受到的力是变化的, 则上述公 式已不适用. 下面用定积分微元法来解决此问题.
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2k m l
a
1 4 a 2 l 2
说明 当细棒很长时,可视 l为无穷大, 此时引力大小为
2k m 方向与细棒垂直且指向细棒 . ， a
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第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在Biblioteka 理上的应用内容小结:1. 变力沿直线段做功 2. 液体的侧压力 3. 引力
第五章 定积分及其应用
第三节 定积分在物理上的应用
例5 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为m的质点M, 计算 该棒对质点的引力 .
解 建立坐标系如图. 细棒上小段
y M dF a x
d Fa y
[ x , x dx] 对质点的引力大小为 m dx dF k 2 a x2