J
dhw`
d(z p u2 )
g 2g
dl
dl
d(z p )
测压管线坡度： J p
g
dl
注意： ① 理想流动流体的总水头线为水平线； ② 实际流动流体的总水头线恒为下降曲线； ③ 测压管水头线可升、可降、可水平。 ④ 若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。 ⑤ 总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。
m
x
m y
(ux ) dxdydz
x
(u y ) dxdydz
y
mz
(uz ) dxdydz
z
2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体
内因流体密mz
t
dxdydz
(ux ) (u y ) (uz ) 0
t x
一、理想流体恒定元流的伯努利方程
质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g
dW fxdx f ydy fzdz gdz
dW d( p ) d(u2 )
2
gdz d( p ) d(u2 ) 0
2
理想流体恒定元流
z p u2 C
g 2g
的伯努利方程
或
z1
p1
g
u12 2g
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
A1
z1
p1
g
u12 2g
gu 1dA1
A2
z2
p2
g
u22 2g
gu
2dA2
qV hwgdqV
1、势能的积分
A(z
p )gudA g(z g
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法 • §3–2 流体运动的一些基本概念 • §3–3 流体运动的连续性方程 • §3–4 理想流体的运动微分方程及其积 • §3–5 伯努利方程 • §3–6 动量方程
§３–３ 流体运动的连续性方程
一、连续性微分方程
流场中的微元平行六面控制体
1、单位时间内在x、y、z方向流进、流出控制体的流体质量差分别为：
x
y
微元平行六面体x方向的受力分析
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
x
微元平行六面体x方向的受力分析 y
f
x
f
y
1
1
p x p y
dux dt duy
dt
fz
1
p z
duz dt
欧拉运动微分
方程
f 1 p du
dt
f 1 p u (u )u
t
二、欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头
总水头
总水头线和静水头线
二、实际流体恒定元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
实际流体恒定元流 的伯努利方程
1v12 2g
H1 p1 /g 1
1
z1
0
H Hp
hw
2v22 2g
2 p2 /g H2
2
z2
0
总水头线坡度：
4、沿流线积分
dux
dx
duy
dy
duz
dz
u2 d(
)
dt
dt
dt
2
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
dW
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
W p u2 C
2
不可压缩理想流体 的伯努利积分式
§３–5 伯努利方程
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
1、恒定流：() 0 t
p dx p dy p dz dp x y z
2、流体不可压缩：ρ=const
1 (p dx p dy p dz) 1 dp d ( p )
x y z
3、质量力有势
fxdx f ydy fzdz dW
总流
(u)dV undA
V
A
t
dV
V
undA 0
A
连续性积分方程 的一般形式
2
dA2 u2 A2
2
三、恒定不可压缩总流的连续性积分方程（the continuity equation）
1
2
A1 dA1 1
u1 元流
总流
dA2 u2 A2
2
A1 u1dA1 A2 u2dA2 0
（ fx （ f y
1
1
p x p y
dux ） dx
dt
duy ） dy
dt
dz （ fz
1
p z
duz dt
）
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
[例] 皮托管测速
h u2 2g
pB g pA g
u
zA
zB
皮托管测速原理
先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有
zA
pA
g
u2 2g
zB
pB
g
0
h
(zB
pB
g
) (zA
pA
g
)
u2 2g
u
2g[(zB
pB g
)
(zA
pA g
)]
2gh
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用 时，应对上式进行修正：
y
z
连续性微分方 程的一般形式
或 (u) 0
t
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
二、连续性积分方程
dV (u)dV 0
V t
V
1、因控制体不随时间变化，式中第一项
1
dV dV
V t
t V
A1 dA1 1
2、据数学分析中的高斯定理，式中第二项
u1 元流
恒定不可压缩总
v1A1 v2 A2 qV
流的连续性方程
[例] 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩 前后断面平均流速之比v1/v2=?。
§３–4 理想流体的运动微分方程及其积分
一、理想流体的运动微分方程
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
z2
p2
g
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流（无旋流）中 ，理想流体各点的
总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。
符号说明：
符号
z
p
g
u2 2g
z p
g
z p u2
g 2g
物理意义
单位重流体的位能 单位重流体的压能 单位重流体的动能 单位重流体总势能 单位重流体总机械能
p )
g
udA g(z
A
p
g
)qV
2、动能的积分
A
u3 2g
gdA
g v3
2g
A
g v2
2g
qV
动能修正系数：
A
u3 2g
gdA
1
g
v2 2g
qV
A
A
(
u v
)3
dA
3、 能量损失积分
A hw` gudA ghwqV
g( z1
p1