ρvy
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
v y v x 0 x y
由已知条件得
vy=y2-y-x
v x 2 y 1 0 x
积分得
vx (1 2 y) x f ( y)
11
根据边界条件x=0时vx=0代入上式得
0 (1 2 y) 0 f ( y)
故有 f ( y ) 0 所以
vx (1 2 y) x x 2 xy
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dvx ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
则有
B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
vx x y z
2 2
3
v y ( xy yz zx )
求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时， vz=2y。
z 答案： v z zx 2y 2
2
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程
在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法
向应力和切向应力如图所示。
16
y z
әσyy әyx σyy+ әy dy yx+ әy dy әyz σzz zx әxy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz әzy fy zy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz fx әxz f z xy xz+ әx dx әzx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ yy x dx
19
——以应力表示的运动方程
将切应力和法向应力的关系式
vx v y xy ( ) y x vz v y yz ( ) y z vx vz zx ( ) z x
vx xx p 2 x v y yy p 2 y vz zz p 2 z
2
流体流动微分方程包括:
连续性方程
运动方程
连续性方程是流动流体质量守恒的数学描
述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学 描述。二者都是基于流Байду номын сангаас中的点建立的微分 方程。
3
6.1 连续性方程 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。
z
( v z ) v z dz z ρv
6 流体流动微分方程
基本内容：
掌握连续性方程及其推导 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程
1
控制体分析
最大优点在于对定常流动，当已知控制面 上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便。
缺点是不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。
18
化简后得
Dvx 1 xx yx zx fx ( ) x y z Dt
同理得
Dvy 1 yy zy xy fy ( ) y z x Dt 1 zz xz yz Dvz fz ( ) z x y Dt
vx v y vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为
vy y y x
2
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
10
解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程

该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于 未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。 7
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。

8
在直角坐标系中可表示为