第一讲 数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：n a ；2、前n 项和：n S3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质：1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -=2、最值：77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪---⎧⎪⎨⎪><⎪⎪⎨⎪><⎪⎪⎪⎪⎩⎩L 最大值：减数列最小值：增数列最大值：若最大，则若或最大，则最小值:与上面相反3、前n 项积n T 有最大值： 三、几种常见数列： 1、-1,7,-13,19L 2、7,77,777,L 3、135248L ，，4、161149L ，，， 5、2468,3153563L ，，★随堂训练：1、已知数列{}n a 通项公式是231n na n =+，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列2、已知数列{}n a 满足10a >，112n n a a +=，那么这个数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是（ ） 4、已知数列{}n a 通项公式是10,21n n n a T n +=+是数列{}n a 的前n 项积，即123n n T a a a a =L ，当n T 取到最大值是，n 的值为（ ）5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（ ）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p .3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －12d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，②①＋②得：S n ＝n a 1＋a n2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 ． 四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．基础训练：（公式的运用，定义的把握）1．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ） A ．B ． 1C ．D ． ﹣12．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（ ） A ． 以7为首项，公差为2的等差数列 B ． 以7为首项，公差为5的等差数列 C ． 以5为首项，公差为2的等差数列D ． 不是等差数列3．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A ． 23B ． 24C ． 25D ． 264．两个数1与5的等差中项是（ ） A ． 1B ． 3C ． 2D ．5．（2005•黑龙江）如果数列{a n }是等差数列，则（ ）A ． a 1+a 8＞a 4+a 5B ． a 1+a 8=a 4+a 5C ． a 1+a 8＜a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5考点1:等差数列的通项与前n 项和 题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a对应练习：1、已知{}n a 为等差数列，q a p a n m ==,（k n m ,,互不相等），求k a .2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.题型2：已知前n 项和n S 及其某项，求项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .4、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n .题型3：求等差数列的前n 项和【解题思路】（1）利用n S 求出n a ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. （2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=.（1） 321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++Λ；⑶求n a a a a ++++Λ321.练习：对应练习：5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .考点2 ：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；2、中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列；3、通项公式法：b kn a n +=（b k ,是常数）⇔{}n a 是等差数列；4、项和公式法：Bn An S n +=2（B A ,是常数，0≠A ）⇔{}n a 是等差数列.【例4】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n nS b nn .求证：数列{}n b 是等差数列.对应练习：6、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = （1） 常数p 的值； （2） 证：数列{}n a 是等差数列.考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ； 2、知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .对应练习：7、含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）.A n n 12+ .B n n 1+ .C n n 1- .D nn 21+ 8.设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .考点4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用n a 与n S 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出n T 后，判断n T 的单调性.【例6】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ， n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴ 数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列{}n a 是等差数列，且28a =-，155a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则A ．1011S S =B ．1011S S >C ．910S S =D ．910S S <2.在等差数列{}n a 中，1205=a ，则=+++8642a a a a .3.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .4.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .5.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .对应练习：9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n .⑴数列{}n a 的通项公式；⑵ 数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k ka a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由。