圆周运动的临界问题 【例1】如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系桶，使它在竖直面内做圆周运动。
如图通过最高点为9m/s ，求绳子的拉力和水对桶底的压力。
（g 取10N/kg ）【答案】拉力105N 方向向下 压力84N ，方向向下【练习1】如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动．小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是A ．图象函数表达式为mg lv m F +=2B ．重力加速度lb g = C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线B 点的位置不变答案:BD【例2】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r .物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能随盘转动.【正解】由于A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A 所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即F＋F m′＝m21ωr ①由于B静止，故F＝mg ②由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即F m′＝μF N＝μmg ③由①②③式解得ω1＝r（μ+1g/）当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为F－F m′＝m22ωr ④由②③④式解得ω2＝r（μ-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足1g/）g/）1（μ+-≤ω≤rrg/）1（μ【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.【例3】如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长L=0.1m 的细线相连接的A、B两小物块．已知A距轴心O的距离r l =0.2m，A、B的质量均为m =1kg，它们与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.3倍（g 取10m/s2)．试求：ω为多大？（1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度（2）当A、B与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？【练习2】如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A到OO'轴的距离为物块B到OO'轴距离的两倍。
现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是（）A．B受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力是先增大后减小C．A受到的静摩擦力是先增大后减小D．A受到的合外力一直在增大答案：D【练习3】(2014·安徽高考)如图10所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。
物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2。
则ω的最大值是( )图10A ． 5 rad/sB ． 3 rad/sC ．1.0 rad/sD ．5 rad/s选C 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律可知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mrω2，求得ω＝1.0 rad/s ，C 项正确，A 、B 、D 项错误。
【例4】如图所示，小球质量 m =0.8kg ，用两根长L =0.5m 的细绳拴住并系在竖直杆上的A 、B 两点，AB =0.8m ．当直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω=40rad /s 的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力．【例5】如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC ⊥AB ，θ=30°，一条不计质量、长L 且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点O 点，另一端拴一质量为m 的物体，物体以速度v 绕圆锥体的轴线OC 在水平面内做匀速圆周运动．当 6gl v =和32gl v =时，分别求出绳对物体的拉力答案：(1)T 1=1.03mg (2)T 2=2mg【练习4】用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示。
设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为，则随的变化的图象是（）答案：C【练习5】（2016•兰州模拟）如图所示，转动轴垂直与光滑水平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端栓接一质量为m的小球B，绳长l>h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（）A．小球始终受三个力的作用B．细绳上的拉力始终保持不变gC．要使球不离开水平面角速度的最大值为hgD．若小球飞离了水平面则角速度为l答案：C【例6】(2015·德州联考)如图12所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R＝1 m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h＝1.25 m，在滑道左端静止放置质量为m＝0.4 kg的物块(可视为质点)，物块与滑道的动摩擦因数为μ＝0.2，现用力F＝4 N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω＝2πrad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。
重力加速度取10 m/s2。
图12(1)若拉力作用时间为0.5 s，求所需滑道的长度；(2)求拉力作用的最短时间。
解析：(1)物块平抛：h ＝12gt 2； t ＝ 2h g＝0.5 s 物块离开滑道时的速度：v ＝R t＝2 m/s 拉动物块的加速度，由牛顿第二定律：F －μmg ＝ma 1；得：a 1＝8 m/s 2撤去外力后，由牛顿第二定律：－μmg ＝ma 2；得：a 2＝－2 m/s 2物块加速获得速度：v 1＝a 1t 1＝4 m/s则所需滑道的长度L ＝x 1＋x 2＝12a 1t 12＋v 2－v 122a 2＝4 m (2)盘转过一圈时落入，拉力时间最短；盘转过一圈时间：T ＝2πω＝1 s ； 物块在滑道上先加速后减速，最终获得：v ＝a 1t 1＋a 2t 2物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t 1＋t 2＋t ＝T由上两式得：t 1＝0.3 s 。
答案：(1)4 m (2)0.3 s课后作业1、如图所示，圆盘上叠放着两个物块A 和B ，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )A ．物块A 不受摩擦力作用B ．物块B 受5个力作用C ．当转速增大时，A 受摩擦力增大，B 受摩擦力减小D ．A 对B 的摩擦力方向沿半径指向转轴答案：B解析：物块A 受到的摩擦力充当其向心力；物决B 受到重力、支持力、A 对物块B 的压力、A对物块B的沿半径向外的摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大；A对B的摩擦力方向沿半径向外。
2、如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有()A．线速度v A>v BB．运动周期T A>T BC．它们受到的摩擦力F fA>F fBD．筒壁对它们的弹力F N A>F N B答案：AD解析：由于两物体角速度相等，而r A>r B，所以v A＝r Aω>v B＝r Bω，A项对；由于ω相等，则T相等，B项错；因竖直方向受力平衡，F f＝mg，所以F fA＝F fB，C项错；弹力等于向心力，所以F N A＝mr Aω2>F N B ＝mr Bω2。
D项对。
3、球A和球B可在光滑杆上无摩擦滑动，两球用一根细绳连接如右图所示，球A的质量是球B的两倍，当杆以角速度ω匀速转动时，两球刚好保持与杆无相对滑动，那么() A．球A受到的向心力大于球B受到的向心力B．球A转动的半径是球B转动半径的一半C．当A球质量增大时，球A向外运动D．当ω增大时，球B向外运动答案：BC解析：因为杆光滑，两球的相互拉力提供向心力，所以F A＝F B，A错误；由F＝mω2r，m A＝2m B，得r B＝2r A，B正确；当A球质量增大时，球A向外运动，C正确；当ω增大时，球B不动，D错误。
4、(2015·忻州一中检测)如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为()A．3mg B．2mgC．3mg D．4mg选A当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，有mg＝m v2r；当小球到达最高点时速率为2v，设每段线中张力大小为F，应有2F cos 30°＋mg＝m(2v)2r；解得F＝3mg，选项A正确。
5．(2015·山东省桓台模拟)如图，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。
A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D 点是与圆心O同一水平线上的点。
小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法正确的是()A．小滑块在A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左B．小滑块在B点时，N＝Mg，摩擦力方向向右C．小滑块在C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦D．小滑块在D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左选B因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。
小滑块在A点时，与轨道的作用力在竖直方向上，水平方向对轨道无作用力，所以轨道相对于地面没有相对运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝gR时，对轨道的压力为零，轨道对地面的压力N＝Mg，当小滑块的速度v＞gR时，对轨道的压力向上，轨道对地面的压力N＜Mg，故选项A错误；小滑块在B点时，对轨道的作用力沿水平方向向左，所以轨道对地有向左运动的趋势，地面给轨道向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项B正确；小滑块在C点时，在水平方向对轨道无作用力，所以地面对轨道没有摩擦力；小滑块做圆周运动，轨道对小滑块的支持力大于其重力，其合力提供向上的向心力，所以滑块对轨道的压力大于其重力，所以轨道对地面的压力N＞(M＋m)g，故选项C错误；小滑块在D点时，对轨道的作用力沿水平方向向右，所以轨道对地有向右运动的趋势，地面给轨道向左的摩擦力；竖直上方向对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力N＝Mg，故选项D 错误。