M3 2 M1 B2 C
3M4
n 3D
T2 M2 M3 0 , T2 M2 M3 (4.784.78)9.56kNm
M4T3 0, T3 M4 6.37kNm
11
③绘制扭矩图 T 9.56kN mBC段为危险截面。 maxT14.7k 来自N mT29.5k6N m
M2
M3
M1
T36.3k 7N m
1
§3–1 工程实际中的扭转概述
2
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
A
B O
A
O B
Me
Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移
3
工 程 实 例
4
§3–2 扭矩时的内力
A
B
M1
M4
n
C
D
M 2 M 3 9
5 P 2 5 90 5 155 4 0 .7 0(8 k m N)
n
300
M 4 95P n 45 905 3 2 50 0 0 6 .0 0 3(7km N)
10
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M2 1
Mx 0 ,
T1 M2 0 T1 M2 4.78kNm A 1
6
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
Mx 0
M
M
TM0 TM
3 扭矩的正负号规定：
x
M
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
7
4 扭矩图：表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化的图线。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T|max值及其截面位置
dA
T A dA
A
G
2
d dx
dA
O
4.
G
d dx
A 2dA
令 I A2dA
I p 称为横截面对形心的极惯性矩。
T
GI
d
dx
d
dx
T GIp
代入物理关系式 Gddx
得：
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
26
T
Ip
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面
2 2 2 d 0
O
D
D4 32
28
对于空心圆截面：
I A 2dA
D
2 d
2 2
d
2
(D 4 d 4) 32
D 4 (1 4 ) 32
d
(
d D
)
d
D O
29
④ 应力分布
（实心圆截面）
（空心圆截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
①变形几何关系 ②物理关系 ③静力关系
23
二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tanG d1G xdd x
d
dx
距圆心为 任一点处的切应变与该点到圆心的
距离成正比。
d dx
—— 扭转角沿轴线的变化率。
24
2. 物理关系：
胡克定律： 代入上式得：
G
G
Gd
dx
G
d
dx
25
3. 静力学关系：
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
15
微小矩形单元体如图所示： ①无正应力
´
a
b
②横截面上各点处，只产 dy
´
生垂直于半径的均匀分布的切
c
d
应力 ，沿周向大小不变，方
dx
向与该截面的扭矩方向一致。
④ 与 的关系：
(tan)
LR
R
L
16
二、薄壁圆筒切应力 大小：
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
17
三、切应力互等定理：
´
a
b
mz 0
dy
( tdy)dx(tdx)dy
´
c
故
z
dx
d t
上式称为切应力互等定理。
该定理表明：在相互垂直的两个平面上，切应力必然 成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其 方向则共同指向或共同背离该交线。
30
⑤ 确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
Rd ,
2
max
ma xTId 2ITd 2W Tt (令 W t I
A
T (kN.m)
B
C
–
4.78
–
9.56
M4
n D
6.37
x
12
§3–3 薄壁圆筒的扭转
13
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
加载前： 绘纵向线，圆周线。 施加一对外力偶 M。
14
施加一对外力偶 M后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 （小变形）
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
18
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这 种情况称为纯剪切。 四、剪切胡克定律：
19
T=M
T (2A0t) (LR)
剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，切应力与切应变成正比。
20
G （剪切胡克定律）
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
强度计算（危险截
面）。例前轴的扭矩图如下：
T
x
8
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
M2
M3
M1
M4
n
A
B
C
D
9
解：①计算外力偶矩
M2
M3
M1
9550P1 n
9550500 300
15.9(kNm)
圆轴。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
27
I A 2dA 单位：[长度]4
③ 尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴， 也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。
对于实心圆截面：
I A 2dA
d
D
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
21
§3–4
圆轴在扭转时的应力 强度条件
22
等直圆轴横截面应力
一、等直圆轴扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。
5
一、传动轴的外力偶矩 已知某传动轴的传递功率为Ｐ(kW），转速为ｎ（rpm),
求该轴上作用的外力偶矩M。作用在轴上的外力偶矩M在每 秒钟内完成的功应等于给轴输入的功：
1kW 1000 m /N s
(M 2 n)/6 P 1 000 m 0/(sN ) M 955nP 0 r/kmw in (N m)