第03讲 函数的性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性）【考纲解读】2. 函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数） （1）函数④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 【知识梳理】 1.单调性 定义：①∈∀21,x x 区间M(A M ⊆定义域), 012>-∆x x 若②()()012>-=∆x f x f y ， 则③()x f 在M 上是增函数(M 称为增区间)； 若②()()012<-=∆x f x f y ，则③()x f 在M 上是减函数(M 称为增区间). 函数单调性题目类型（1）利用定义的常见单调性题目： ①②⇒③,判断函数的单调性； ②③⇒①,判断自变量大小； ①③⇒②，判断函数值的大小。

（2）已知单调性，反求参数范围； （3）利用导数研究函数单调性；（4）利用已知函数的图像研究函数单调性; （5）复合函数的单调性 2.奇偶性 定义：（1）若()()x f x f D x =-∈∀，,则()x f 是偶函数； 若()()000x f x f D x =/-∈∃，使得，则()x f 不是偶函数； （2）若()()x f x f D x -=-∈∀，,则()x f 是奇函数； 若()()000x f x f D x -=/-∈∃，使得，则()x f 不是奇函数； 注意：定义的否定形式.3.周期性:定义：若存在非零常数T ，使得()()x f T x f D x =+∈∀，, 则()x f 为周期函数，T 是一个周期.4.对称性（1）偶函数的图像关于y 轴对称； （2）奇函数的图像关于原点对称；（3）指数函数xa y =和对数函数x y a log =是互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称；（4）若()x f 满足()()x a f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线a x =对称；（5）若()x f 满足()()x a f x a f +-=-，则()x f 的图像关于点()0，a 对称； （6）若()x f 满足()()xb f x a f +=-，则()x f 的图像关于直线2ba x +=对称； （7）若()x f 满足()()x a f b x a f +-=-2，则()x f 的图像关于点()b a ，对称；【典例精讲】 考点一 单调性例1.（15湖南理）设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】试题分析：显然，)(x f 定义域为)1,1(-，关于原点对称，又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-， ∴)(x f练习 （2012山东理）设0a >且1a ≠, 则“函数()xf x a =在R 上是减函数”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2006北京）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C)（A ）(0,1)（B ）1(0,)3（C ）11[,)73 （D ）1[,1)7考点二 奇偶性例2. （2013上海春）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标;(2)求函数22()log 4xh x x=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为32(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得33y x x =-,由于函数33y x x =-是奇函数,由题设真命题知,函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，.(2)设22()log 4x h x x=-的对称中心为( )P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数.设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()x a f x bx a +=--+,即222()log 4x af x ba x+=---. 由不等式2204x a a x+>--的解集关于原点对称,得2a =.此时22(2)()log (2 2)2x f x b x x+=-∈--，，. 任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =, 所以函数22()log 4x h x x =-图像对称中心的坐标是(2 1)，. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像,但是对任意实数a 和b ,函数()y f x a b =+-,即y x a b =+-总不是偶函数.修改后的真命题:“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”. 练习2.（2013山东理）已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 【答案】A考点三 周期性例3.（2012江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.练习（2013大纲文13）设()x f 是以2为周期的函数，且当]3,1[∈x 时，()2-=x x f 则()1-f 的值为 【参考答案】练习(2009陕西卷理)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 (A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+(B) (1)()(1)f n f n f n -<-<+(C) (C)(1)()(1)f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)()f n f n f n +<-<-考点四 综合问题例 4.（15年新课标2文科）设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()12121213f x f x f x f x x x >-⇔>-⇔>-⇔.故选A.考点：函数性质 练习4.（2013江苏11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。

由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。

不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

【基础夯实】1.（15福建文）下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．xy e = C ．cos y x = D ．x xy e e -=- 【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数；cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．2.(2010重庆理5) 函数41()2x xf x +=的图象xyy ＝xy ＝x 2—4P (5,5) Q (﹣5, ﹣5)（A ） 关于原点对称 （B ） 关于直线y ＝x 对称 （C ） 关于x 轴对称 （D ） 关于y 轴对称 【答案】D解析：)(241214)(x f x f xxx x =+=+=--- )(x f ∴是偶函数，图像关于y 轴对称.3.（2013湖北文）x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数 【答案】D 4.（2013湖南文4）已知()x f 是奇函数，()x g 是偶函数，且()2)1(1=+-g f ，()4)1(1=-+g f ，则()=1g 【参考答案】B5.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ） A ．2sin y x x = B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B 【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.6.（15广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+=C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以xy x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题． 7.（2014·北京）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝(x ＋1) A8.（15陕西文）设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】 ()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数； ()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B 考点：函数的性质.9.[2014·福建]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x>0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是增函数C ．f(x)是周期函数D ．f(x)的值域为[－1，＋∞) D10.（2010山东理4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以有0f(0)=2+20+b=0⨯,解得b=-1,所以当x 0≥时, xf(x)=2+2x-1,即f(-1)=-f(1)=12+21-1=-3⨯-（）,故选D. 【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.11.（2011上海理13） 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .[15,11]-(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m≥，所以实数m 的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．14.（15新课标1理）若函数()()2ln x a x x x f ++=为偶函数，则a= 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 15.（2014·新课标Ⅱ）已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．(－1，3)【能力提升】 1.（2013广东理）定义域为R 的四个函数3y x =, 2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4 B.3 C.2 D.【答案】C2.（2012福建理）设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数 D ．()D x 不是单调函数 3.（2009安徽9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称。