第二章 推理与证明
【证明】 ∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz. ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)， 即 x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥m32.
证明：当 x≥4 时，欲证 x－1－ x－2< x－3 － x－4， 只需证 x－1＋ x－4< x－3＋ x－2， 即证( x－1＋ x－4)2<( x－3＋ x－2)2， 展 开 得 2x － 5 ＋ 2 x－1 · x－4 <2x － 5 ＋ 2 x－3· x－2，
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第二章 推理与证明
第二章 推理与证明
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复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定 理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。
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第二章 推理与证明
2.已知函数 f(x)＝12x，a，b∈(0，＋∞)，A＝ fa＋2 b，B＝f( ab)，C＝fa2＋abb，则 A，B，C 的大小关系为________．
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第二章 推理与证明
解析：∵a>0，b>0，∴a＋2 b≥ ab. ∴2a＋abb≤1，∴a2＋abb≤ ab. 又 f(x)＝12x在(0，＋∞)上为减函数， 故有 fa＋2 b≤f( ab)≤fa2＋abb. 答案：A≤B≤C
因导果法
果索因法
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第二章 推理与证明
想一想 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是 演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推 理，因为综合法与分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都 是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
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第二章 推理与证明
2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来 推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作 已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充 分条件．
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
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分析基本不等式： (a>0,b>0)的证明.
a+b 2
第二章 推理与证明
ab
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
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第二章 推理与证明
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得 c2＋a2＝ac＋b2， 两边同时加 ab＋bc 得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边除以(a＋b)(b＋c)得a＋c b＋b＋a c＝1， ∴a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， ∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示 的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示
__所__要__证__明__的__结__论______
第二章 推理与证明
分析法
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第二章 推理与证明
综合法
分析法
特点
顺推证法或由 逆推证法或执
例3 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列． 求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
【证明】 法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a ＋b＋c)－1， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 也即a＋c b＋b＋a c＝1.
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第二章 推理与证明
又 y＝cosx 在(0，π)上单调递减，且 cosπ2 ＝0， π
∴0<∠B< 2 ，即∠B 为锐角． (分析法)要证明∠B 为锐角，只需证 cosB>0， 又因为 cosB＝a2＋2ca2c－b2，所以只需证明 a2＋c2 －b2>0，即 a2＋c2>b2，因为 a2＋c2≥2ac，所以 只需证明 2ac>b2，由已知2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a ＋c)． 所以只需证明 b(a＋c)>b2， 即 a＋c>b，显然成立，所以∠B 为锐角．
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第二章 推理与证明
互动探究 1.已知a＋b＋c＝6.求a2＋b2＋c2的最小值． 解：由本例的结论知 a2＋b2＋c2≥632＝12， 当且仅当 a＝b＝c＝2 时，“＝”成立， ∴a2＋b2＋c2 的最小值为 12.
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第二章 推理与证明
题型二 分析法的应用
例2 (本题满分 9 分)设 a，b 为实数．求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
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小结：
第二章 推理与证明
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中:
分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一 步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的 逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合 法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思 考方法，应用十分广泛。
所以
a
+ 2
b
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
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第二章 推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
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第二章 推理与证明
备考例题
1.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋2)，当
x>1时，f(x)单调递增，如果x1＋x2>2且(x1－1)(x2
－1)<0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能为0
D．可正可负
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第二章 推理与证明
解析：选B.由f(－x)＝－f(x＋2)知函数y＝f(x) 关于点(1，0)对称． 由(x1－1)(x2－1)<0知x1－1，x2－1异号，不妨 设x1>1，则x2<1. ∵x1＋x2>2，∴x1>2－x2. 由x2<1知2－x2>1，故x1>2－x2>1. ∴f(x1)>f(2－x2)， ∵f(2－x2)＝－f(x2)， ∴f(x1)>－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)>0.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
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第二章 推理与证明
2．2.1 综合法和分析法
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第二章 推理与证明
新知初探思维启动
综合法和分析法
综合法
分析法
从_要__证__明____的结论出发，
利用_已__知__条__件__和某些数 逐步寻求使它成立的 学__定__义___、___公__理___、 _充__分__条__件____，直至最后，
即 （x－1）（x－4）< （x－3）（x－2）， 只需证[ （x－1）（x－4）]2<[ （x－3）（x－2）]2， 即证 x2－5x＋4<x2－5x＋6，即 4<6， 这显然成立． ∴当 x≥4 时， x－1－ x－2< x－3－ x－4.
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第二章 推理与证明
题型三 综合法与分析法的应用
经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论
成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法
特点：由因导果 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示
所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
第二章 推理与证明
例：求证： 3 7 2 5
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
1、综合法：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,
定 __定__理____等，经过一系列 把要证明的结论归结为判
义 的_推__理__论__证___，最后推导 定一个明显成立的条件(已 出所要证明的结论成立， 知条件定、义_______定_、理
这种证明方法叫做综合法 _公__理____、_______等)，这
种证明方法叫做分析法
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综合法
P⇒Q1 →
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