止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即 要证结果Q，只需证条件P.
类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。
用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的 结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
注意：证明最后面的明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
三、例题讲解
例2.在ABC中,设CB a,CA b,
求证 :
SABC
1 2
| a |2| b |2 (a b)2
三、例题讲解
例3.在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别 为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等 比数列，求证△ABC为等边三角形．
分析 •将A，B，C成等差数列，转化为符号
• (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
练习：证明不等式：
a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
分析法
证法2:要证a;+
2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
分析法
综合法和分析法的推证过程如下：
综合法
已知条件 结论
分析法
结论 已知条件
例4.求证：3 7 2 5证明：因为来自3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
只需证，（ 3 7）2 （2 5）2
只需证：10 2 21 20
只需证： 21 5 只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
二、讲授新课——分析法（逆推证法或执果索因法）
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为
2.2.1综合法和分析法（一） ——综合法
一、复习引入
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格 的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
因为;( a b)2 0 成立
a+b
所以
2
ab成立
思考：上述两种证法有什么异同？
相同 都是直接证明
证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、
不同 定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论
为止
综合法
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条
件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件
吻合为止
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评]
• (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。
练习.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
分析： 首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍， 左端为两项之和，其中每一项都是一个 数与另两个数的平方和之积.据此，只要 把两个数的平方和转化为这两个数的积 的形式，就能使不等式左、右两端具有 相同的形式.
二、讲授新课——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
2.2.1综合法和分析法（二） ——分析法
一、回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导 果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是
b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一 步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π . ③ 3
由a，b，c成等比数列，有
b2 = ac. ④
注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。
文字语言
图形语言
符号语言
由余弦定理及③，可得
b2 = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 - ac.
其次，寻找转化的依据及证明中要用的 其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实 现转化，不等式的基本性质是证明的依 据.
证明:
∵ b2+c2 ≥ 2bc,a>0 ∴ a(b2+c2) ≥2abc.
又∵ c2+a2 ≥ 2ac,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
∴ a(b2+c2)+b(c2+a2) ≥ 4abc.
再由④，得 a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此 a=c.
从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得 A = B = C = π . 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
四、课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知 入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中 要注意语言的规范性和逻辑性.